EjerciciosFyQ

Desintegración del polonio-210: actividad radiactiva y energía liberada (8638)

F_y_Q — 2026-05-30T04:52:49Z

El polonio‑210 ($$$ {}^{210}_{\phantom{0}84}\mathrm{Po}$$$) es un emisor alfa que se desintegra a plomo‑206 ($$$ {}^{206}_{\phantom{0}82}\mathrm{Pb}$$$). Su periodo de semidesintegración es de 138.4 días.

a) Escribe la ecuación de la desintegración y calcula la energía liberada en cada desintegración, expresada en MeV y en julios.

b) Se dispone de una muestra de 1.00 mg de $$$ {}^{210}\mathrm{Po}$$$ puro. Determina: i) la actividad inicial de la muestra en Bq; ii) la energía total liberada por la muestra al cabo de 276.8 días, suponiendo que se aprovecha toda la energía de las desintegraciones. Expresa el resultado en julios.

Datos: $$$ \text{m}(^{210}\text{Po}) = 209.9829\ \text{u}$$$; $$$ \text{m}(^{206}\text{Pb}) = 205.9745\ \text{u}$$$; $$$ \text{m}(^{4}\text{He}) = 4.0026\ \text{u}$$$; $$$ 1\ \text{u} = 1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$; $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{N}_\text{A} = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{q}_\text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$.

a) La ecuación de desintegración alfa del polonio‑210 debe cumplir que se conserve la masa y el total de protones en el proceso:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf ^{210}_{\phantom{0}84}\mathrm{Po}\ \to\ ^{206}_{\phantom{0}82}\mathrm{Pb} + ^{4}_{2}\mathrm{He}}}$$$

La energía liberada por cada núcleo desintegrado está relacionada con el defecto de masa entre los productos y el reactivo. Primero calculas el defecto de masa:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Delta m = m(^{210}\mathrm{Po}) - \left[m(^{206}\mathrm{Pb}) + m(^{4}\mathrm{He})\right]}$$$

Sustituyes los valores dados en el enunciado y calculas:

$$$ \Delta \text{m} = 209.9829\ \text{u} - (205.9745 + 4.0026)\ \text{u} = \color{royalblue}{\bf 5.58\cdot 10^{-3}\ u}$$$

La energía que libera cada núcleo desintegrado es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E = \Delta m\cdot c^2}$$$

Solo tienes que sustituir y calcular, pero ten cuidado con las unidades:

$$$ \require{cancel} 5.58\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{u}}\cdot \dfrac{1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}}{1\ \cancel{\text{u}}}\cdot \left(3\cdot 10^8\right)^2\ \text{m}^2\cdot \text{s}^{-2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 8.34\cdot 10^{-13}\ J}}$$$

Para hacer la conversión a MeV necesitas dos factores de conversión:

$$$ \require{cancel} 8.34\cdot 10^{-13}\ \cancel{\text{J}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{eV}}}{1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}}\cdot \dfrac{1\ \text{MeV}}{10^6\ \cancel{\text{eV}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.21\ MeV}}$$$

b) La actividad inicial está relacionada con la constante de desintegración y el número inicial de núcleos siguiendo la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A_0 = \lambda\cdot N_0}$$$

i) Necesitas calcular la constante de desintegración y lo puedes hacer a partir del periodo de semidesintegración:

$$$ \color{forestgreen}{\bf}\lambda = \dfrac{\text{ln} 2}{T_{\frac{1}{2}}}$$$

Para hacer el cálculo necesitas expresar el periodo en segundos:

$$$ \require{cancel} 138.4\ \cancel{\text{días}}\cdot \dfrac{24\ \cancel{\text{h}}}{1\ \cancel{\text{día}}}\cdot \dfrac{3.6\cdot 10^3\ \text{s}}{1\ \cancel{\text{h}}} = \color{royalblue}{\bf 1.2\cdot 10^{7}\ s}$$$

Sustituyes y calculas la constante de desintegración:

$$$ \lambda = \dfrac{\text{ln}\ 2}{1.2\cdot 10^7\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 5.78\cdot 10^{-8}\ s^{-1}}$$$

El número inicial de núcleos lo calculas a partir de la masa de muestra y la masa atómica del elemento:

$$$ \require{cancel} 1\ \cancel{\text{mg}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{g}}}{10^3\ \cancel{\text{mg}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{209.9829\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 2.868\cdot 10^{18}\ núcleos}$$$

La actividad inicial que necesitas calcular es:

$$$ \text{A}_0 = 5.78\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}\cdot 2.868\cdot 10^{18}\ \text{núcleos} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.66\cdot 10^{11}\ Bq}}$$$

ii) En el apartado a) has calculado la energía liberada por cada núcleo desintegrado, por lo que, si calculas los núcleos que se han desintegrado en los 276.8 días, puedes saber la energía total liberada. Observa que el tiempo que tienes que considerar es justo el doble que el tiempo de semidesintegración. Eso quiere decir que, tras dos semividas, la fracción de núcleos que queda sin desintegrarse es $$$ \frac{1}{4}$$$ del número inicial de núcleos. Esto quiere decir que se habrán desintegrado las tres cuartas partes de los núcleos iniciales y la energía total asociada es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_T = E\cdot N_{desint}}} = 8.34\cdot 10^{-13}\ \dfrac{\text{J}}{\cancel{\text{núcleo}}}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot 2.868\cdot 10^{18}\ \cancel{\text{núcleos}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.79\cdot 10^6\ J}}$$$

Otra forma de hacer este cálculo sería teniendo en cuenta la ecuación que relaciona el número de núcleos que quedan tras un tiempo determinado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}$$$

Para determinar los núcleos que se han desintegrado tendrías que hacer la diferencia entre los iniciales y los que resultan tras el tiempo que estás considerando, por lo que la ecuación que tienes que aplicar es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf N_{desint} = N_0\left(1 - e^{-\lambda\cdot t}\right)}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{N}_{\text{desint}} = 2.868\cdot 10^{-18}\ \text{núcleos}\left(1 - \text{e}^{-5.78\cdot 10^{-8}\ \cancel{\text{s}^{-1}}\cdot 2.4\cdot 10^7\ \cancel{\text{s}}}\right) = \color{royalblue}{\bf 2.1516\cdot 10^{18}\ núcleos}$$$

El último paso es multiplicar la energía asociada a la desintegración de cada núcleo por los núcleos desintegrados:

$$$ \require{cancel} \text{E}_\text{T} = 8.34\cdot 10^{-13}\ \dfrac{\text{J}}{\cancel{\text{núcleo}}}\cdot 2.1516\cdot 10^{18}\ \cancel{\text{núcleos}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.79\cdot 10^6\ J}}$$$

Análisis de un sistema con tres cargas eléctricas (8637)

F_y_Q — 2026-05-27T04:25:01Z

Tres cargas puntuales están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo en el plano XY: $$$ \text{Q}_1 = +4\ \text{nC}$$$ en el punto A(0, 0) cm, $$$ \text{Q}_2 = –2\ \text{nC}$$$ en el punto B(3, 0) cm, $$$ \text{Q}_3 = +5\ \text{nC}$$$ en el punto C(0, 4) cm.

a) Calcula el vector campo eléctrico total (módulo, dirección y sentido) en el punto P(3, 4) cm.

b) Determina la energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas.

c) Calcula el trabajo que debe realizar un agente externo para traer una cuarta carga $$$ \text{Q}_4 = +1\ \text{nC}$$$ desde el infinito hasta el punto «P», en presencia de las otras tres cargas fijas.

Dato: $$$ \text{K} = 9\cdot 10^9\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2}$$$

Debes tener cuidado con las unidades de distancia porque no están en unidades SI.

a) Para calcular el campo eléctrico total en «P» debes aplicar el principio de superposición:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3}$$$

Necesitas conocer el campo que cada una de las cargas crea en el punto que tienes que considerar:

1. Campo que crea la carga 1 en «P».

La distancia entre los puntos «A» y «P» es:

$$$ \text{d}_{\text{AP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.05\ m}$$$

El vector unitario que contiene la dirección y el sentido del campo eléctrico es:

$$$ \vec{\text{u}}_1 = \dfrac{0.03}{0.05}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0.04}{0.05}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_1 = 0.6\ \vec{\text{i}} + 0.8\ \vec{\text{j}}$$$

El módulo del campo es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_1 = K\dfrac{\lvert Q_1\rvert}{d_{AP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{4\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.05^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 1.44\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

El vector del campo eléctrico de la primera carga en el punto «P» lo obtienes al multiplicar el módulo calculado por el vector unitario:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_1 = E_1\cdot \vec{u}_1}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_1 = 8\ 640\ \vec{i} + 11\ 520\ \vec{j}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

2. Campo que crea la carga 2 en «P»:

De manera análoga al caso de la carga 1 haces la distancia entre los puntos «B» y «P», el vector unitario y el módulo del campo:

$$$ \text{d}_{\text{BP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0.03)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.04\ m}$$$

$$$ \vec{\text{u}}_2 = \dfrac{0}{0.04}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0.04}{0.04}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_2 = \vec{\text{j}}$$$

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_2 = K\dfrac{\lvert Q_2\rvert}{d_{BP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{2\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.04^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 1.125\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

Multiplicas el módulo por el vector unitario para obtener el vector del campo eléctrico. Recuerda que ahora sí que debes tener en cuenta el signo de la carga:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_2 = E_2\cdot \vec{u}_2}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_2 = - 11\ 250\ \vec{j}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

3) Campo que crea la carga 3 en «P»: Vuelves a hacer lo mismo para la carga 3; distancia, vector unitario y módulo:

$$$ \text{d}_{\text{CP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0)^2 + (0.04 - 0.04)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.03\ m}$$$

$$$ \vec{\text{u}}_3 = \dfrac{0.03}{0.03}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0}{0.03}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_3 = \vec{\text{i}}$$$

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_3 = K\dfrac{\lvert Q_3\rvert}{d_{CP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{5\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.03^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 5\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

Multiplicas el módulo por el vector unitario para obtener el vector del campo eléctrico:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_3 = E_3\cdot \vec{u}_3}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_3 = 50\ 000\ \vec{i}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

El campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos que has calculado:

$$$ \vec{\text{E}}_\text{P} = (8\ 640 + 50\ 000)\ \vec{\text{i}} + (11\ 530 - 11\ 250)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \vec{E}_P = 58\ 640\ \vec{i} + 270\ \vec{j}}}$$$

El módulo del vector es:

$$$ \text{E}_\text{P} = \sqrt{(58\ 640^2 + 270^2)\ \text{m}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 58\ 641\ N\cdot C^{-1}}}$$$

La dirección la obtienes a partir de la tangente del ángulo entre sus componentes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{tg\ \theta = \dfrac{E_{T_y}}{E_{T_x}}}}\ \to\ \theta = \text{arctg}\ \left(\dfrac{270}{58\ 640}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.26^o\ (\text{sobre el eje X, hacia la derecha})}}$$$

b) La energía electrostática total es la suma de las energías potenciales de cada par de cargas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf U = K\left( \dfrac{Q_1\cdot Q_2}{d_{AB}} + \dfrac{Q_1\cdot Q_3}{d_{AC}} + \dfrac{Q_2\cdot Q_3}{d_{BC}}\right)}$$$

Las distancias entre los puntos son:

$$$ \text{d}_{\text{AB}} = \sqrt{[\left[(0.03 - 0)^2 + (0 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.03\ m}$$$
$$$ \text{d}_{\text{AC}} = \sqrt{[\left[(0 - 0)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.04\ m}$$$
$$$ \text{d}_{\text{BC}} = \sqrt{[\left[(0 - 0.03)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.05\ m}$$$

Sustituyes en la ecuación de la energía potencial electrostática, pero debes prestar atención a los signos de las cargas porque los debes considerar:

$$$ \require{cancel} \text{U} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\ \left[ \dfrac{4\cdot10^{-9}\cdot (-2\cdot 10^{-9})}{0.03} + \dfrac{4\cdot 10^{-9}\cdot 5\cdot 10^{-9}}{0.04} + \dfrac{(-2\cdot 10^{-9})\cdot 5\cdot 10^{-9})}{0.05} \right]\ \dfrac{\cancel{\text{C}^2}}{\cancel{\text{m}}}$$$

Cuando haces la operación, y tienes en cuenta las unidades resultantes, obtienes como resultado:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf U = 3\cdot 10^{-7}\ J}}$$$

c) Para poder calcular el trabajo para el traslado de la carga 4, necesitas conocer el potencial eléctrico en «P»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf V_P = K\left( \dfrac{Q_1}{d_{AP}} + \dfrac{Q_2}{d_{BP}} + \dfrac{Q_3}{d_{CP}} \right)}$$$

Ya conoces las distancias que aparecen en la ecuación, por lo que solo tienes que sustituir y calcular:

$$$ \require{cancel} \text{V}_\text{P} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\text{C}\cancel{^2}} \left( \dfrac{+4\cdot 10^{-9}}{0.05} + \dfrac{-2\cdot 10^{-9}}{0.04} + \dfrac{+5\cdot 10^{-9}}{0.03} \right)\ \dfrac{\cancel{\text{C}}}{\cancel{\text{m}}} = \color{royalblue}{\bf 1\ 770\ V}$$$

El trabajo externo es el producto de este potencial por la carga que se traslada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{W_{ext} = Q_4\cdot V_P}} = 10^{-9}\ \text{C}\cdot 1\ 770\ \text{V} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.77\cdot 10^{-6}\ J}}$$$

[P(973)] Ángulos de refracción y reflexión de un rayo que incide contra una disolución de metanol (8636)

F_y_Q — 2026-05-25T10:13:25Z

Para ver el enunciado y las respuestas del problema que se resuelve en el vídeo clica sobre este enlace.

[T] TRPECV para la PAU: orientaciones y claves para entenderla (8635)

F_y_Q — 2026-05-20T01:48:19Z

Con este vídeo creo que te quedará clara la idea fundamental sobre la que se basa este modelo y comprenderás cómo deducir la geometría de las moléculas covalentes de manera fácil y sin necesidad de que memorices nada.

Aplicación del número de Avogadro: relación entre moles y partículas (606)

F_y_Q — 2026-05-19T05:06:59Z

Calcula:

a) El número de partículas que hay en tres moles.

b) Los moles que son $$$ 56.78\cdot 10^{25}$$$ partículas.

c) Las moléculas contenidas en 0.45 moles.

d) Los moles que son 550 000 partículas.

El número de Avogadro se define como una cantidad determinada de partículas. Su valor, $$$ 6.022\cdot 10^{23}$$$ indica cuántas partículas están contenidas en un mol. Aplicando esta equivalencia, en forma de factor de conversión, es como puedes resolver cada una de las cuestiones planteadas.

a) $$$ \require{cancel} 3\ \cancel{\text{mol}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{-23}\ \text{partículas}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.8\cdot 10^{24}\ partículas}}$$$

b) $$$ \require{cancel} 56.78\cdot 10^{25}\ \cancel{\text{partículas}}\cdot \dfrac{1\ \text{mol}}{6.022\cdot 10^{-23}\ \cancel{\text{partículas}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 942.9\ moles}}$$$

c) $$$ \require{cancel} 0.45\ \cancel{\text{mol}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{-23}\ \text{moléculas}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.71\cdot 10^{23}\ moléculas}}$$$

d) $$$ \require{cancel} 5.5\cdot 10^5\ \cancel{\text{partículas}}\cdot \dfrac{1\ \text{mol}}{6.022\cdot 10^{-23}\ \cancel{\text{partículas}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 9.13\cdot 10^{-19}\ moles}}$$$

Projectile motion in a match between Brazil and Argentina (8634)

F_y_Q — 2026-05-15T07:05:37Z

In a friendly football match between Argentina and Brazil, with the score tied 1–1 in the 90th minute, the referee awards a free kick to Brazil at a distance of 32 m from the goal. The player taking the shot is capable of imparting a speed of 30 m/s to the ball, and the defensive wall formed by the Argentine players, with an average height of 1.80 m, is positioned 12 m away from the point of the kick.

Determine:

a) What should be the launch angle in order to place the ball in the upper left corner of the goal without the wall blocking the shot?

b) What should be the launch angle in order to place the ball in the lower left corner of the goal without the wall blocking the shot?

This is an oblique‑launch projectile problem, and the solution will be carried out step by step, explaining the necessary approximations.

a) Placing the ball in the upper left corner without the wall obstructing the shot.

First, you must determine the minimum launch angle required for the ball to pass above the defensive wall.

The equations of projectile motion are:

$$$ \left. \begin{aligned} &\color{forestgreen}{\bf x(t) = v_0\cdot t\cdot cos\ \theta} \\ &\color{forestgreen}{\bf y(t) = v_0\cdot t\cdot sen\ \theta - \dfrac{g}{2}\cdot t^2} \end{aligned} \right \}$$$

The ball will clear the wall if, at the horizontal distance where the wall is located, its height is greater than the average height of the players. The time it takes the ball to reach the wall is:

$$$ \text{t}_\text{b} = \dfrac{\text{d}_\text{b}}{\text{v}_0\cdot \text{cos}\ \theta}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t_b = \dfrac{12}{30\cdot cos\ \theta}}$$$

Substituting this expression for the time into the vertical‑position equation:

$$$ \text{y}(\text{t}_\text{b}) = \text{v}_0\left(\dfrac{12}{30\cdot \text{cos}\ \theta}\right)\cdot \text{sen}\ \theta - \dfrac{\text{g}}{2}\left(\dfrac{12}{30\cdot \text{cos}\ \theta}\right)^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf y(t_b) = 12\cdot tg\ \theta - 4.9\left(\dfrac{0.16}{cos^2\ \theta}\right)}$$$

To solve the previous equation, two very useful approximations for small angles may be applied:

$$$ \left. \begin{aligned} \text{tg}\ \theta &\approx \theta \\ \text{cos}\ \theta &\approx 1 \end{aligned} \right \} \ \to\ \color{forestgreen}{\bf y(t_b) = 12\theta - 4.9\cdot 0.16}$$$

Solving for the angle gives:

$$$ \theta \ge \dfrac{1.80 + 0.784}{12}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \theta \ge 12.3^o}$$$

You now have the minimum angle required to clear the wall, but you must adjust the angle so that the ball reaches the goal at the height of the crossbar, which in a football goal is 2.44 m.

The time it takes the ball to reach the goal is:

$$$ \text{t}_\text{p} = \dfrac{\text{d}_\text{p}}{\text{v}_0\cdot \text{cos}\ \theta}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t_p = \dfrac{32}{30\cdot cos\theta}}$$$

Substituting into the vertical‑position equation, analogously to the previous case, yields:

$$$ \text{y}(\text{t}_\text{p}) = \text{v}_0 \left(\dfrac{32}{30\cdot \text{cos}\ \theta}\right)\cdot \text{sen}\ \theta - \dfrac{\text{g}}{2} \left(\dfrac{32}{30\cdot \text{cos}\ \theta} \right)^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf y(t_p) = 32\theta - 4.9\cdot 1.14}$$$

Solving for the angle:

$$$ \theta \ge \dfrac{2.44 + 5.59}{32} \quad \Rightarrow \quad \color{firebrick}{\boxed{\bf \theta \ge 14.4^o}}$$$

b) Placing the ball in the lower left corner without the wall obstructing the shot.

The condition for clearing the wall is the same as in the previous section, and the minimum angle required remains: $$$ \theta = 12.3^o$$$. The only change is the condition that the ball must satisfy upon reaching the goal: in this case, the height must be zero:

$$$ \text{y}(\text{t}_\text{p}) = 32\theta - 4.9\cdot 1.14 \quad \Rightarrow \quad \theta \ge \dfrac{5.59}{32} \quad \Rightarrow \quad \color{firebrick}{\boxed{\bf \theta \ge 10^o}}$$$

Observe that this condition is already included in the requirement for the ball to clear the wall, so the angle $$$ \theta = 12.3^o$$$ is sufficient.

[T] Interacción electrostática y ley de Coulomb (8633)

F_y_Q — 2026-05-14T06:18:04Z

Comprender los conceptos es la mejor manera de afianzar el aprendizaje y rendir mucho en las pruebas de evaluación del curso y de la PAU. Este vídeo te ayudará a comprender qué es la interacción electrostática, desde un punto de vista cualitativo, cómo se caracterizó y cómo se cuantificó el fenómeno por medio de la ley de Coulomb.

- 07 - Campo eléctrico / Fuerza eléctrica, Ley de Coulomb, Electrización

Seguridad de un sistema de carga por inducción para un implante de neuroestimulación (8632)

F_y_Q — 2026-05-13T08:33:41Z

Seguro que te resulta familiar la tecnología de carga «sin cable» de los móviles, es decir, dejando el aparato sobre una base que lo carga solo por contacto con ella. Esta tecnología se aplica a otros dispositivos médicos que son implantados en el cuerpo, como los neuroestimuladores para el tratamiento del dolor crónico o los marcapasos para controlar el ritmo cardíaco. Se recargan mediante inducción magnética desde el exterior, colocando una bobina externa (emisora), por la que circula una corriente alterna, sobre la piel del paciente, justo encima de donde se encuentra el implante (bobina receptora). Sin embargo, la normativa de seguridad ICNIRP, siglas en inglés de la Comisión Internacional de Protección contra Radiaciones No Ionizantes, establece que, para evitar daños en las células de los tejidos del paciente por calentamiento o corrientes parásitas, el campo magnético en el tejido no debe superar ciertos umbrales de seguridad.

A una señora se le implanta un neuroestimulador para controlar el dolor crónico en la zona lumbar a una profundidad de 1.5 cm bajo la piel. El aparato tiene una bobina de 400 espiras de 0.8 cm de radio y una resistencia interna de $$$ 25\ \Omega$$$. Para cargar el implante se dispone de un cargador magnético con una bobina de 50 espiras y 2.5 cm de radio por la que circula una corriente eléctrica alterna de intensidad $$$ \text{I}(t) = 0.03\cdot \text{sen}\ (10^5\pi t)\ (\text{A})$$$. Si el campo magnético máximo que permite la norma ICNIRP para frecuencias de 50 kHz es de $$$ 27\ \mu T$$$:

a) Calcula el valor máximo del campo magnético ($$$ \text{B}_{\text{máx}}$$$) en el centro de la bobina del implante. Determina si el dispositivo cumple con la normativa ICNIRP.

b) Obtén la expresión de la fuerza electromotriz inducida en el implante. ¿Cómo afecta al voltaje obtenido el hecho de tener 400 espiras en lugar de una sola espira?

c) Si la potencia necesaria para cargar la batería del implante es de 5 mW, calcula la potencia media que este sistema entrega a la resistencia del circuito, a partir del valor de la fem eficaz. ¿Es suficiente para cargar el dispositivo?

Dato: $$$ \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \text{m}\cdot \text{A}^{-1}$$$

a) La ecuación para calcular el campo magnético en el eje de la bobina de implante es la de una espira circular, pero multiplicada por el número de espiras de la bobina. Si necesitas repasar cómo se obtiene esta ecuación, a partir de la ley de Biot-Savart, puedes hacerlo viendo este vídeo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf B = N_1\cdot \dfrac{\mu_0\cdot I\cdot R_1^2}{2(R_1^2 + z^2)^{3/2}}}$$$

Debes tener mucho cuidado con la unidades al sustituir en la ecuación, siendo lo ideal que expreses todos los datos en unidades SI. El campo magnético será máximo cuando lo sea la intensidad de la corriente, es decir, cuando I = 0.03 A:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 50\cdot \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{A}^{-1}}\cdot 0.03\ \cancel{\text{A}}\cdot (2.5\cdot 10^2)^2\ \cancel{\text{m}^2}}{2\big[(2.5\cdot 10^2)^2 + (1.5\cdot 10^2)^2\big]^{3/2}\ \cancel{\text{m}^3}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.38\cdot 10^{-5}\ T}}$$$

Debes hacer la conversión del resultado a la unidad de referencia de la norma, para poder hacer la comparación:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 2.38\cdot 10^{-5}\ \cancel{\text{T}}\cdot \dfrac{1\ \mu\ \text{T}}{10^{-6}\ \cancel{\text{T}}} = \color{royalblue}{\bf 23.8\ \mu\ T}$$$

Como el valor obtenido es menor que el límite que impone la norma ICNIRP, el dispositivo cumple con la normativa de seguridad para esa profundidad y corriente.

b) Según la ley de Faraday-Lenz, la fem inducida es la variación temporal del flujo magnético total. El flujo a través de las espiras del implante, si supones que el campo magnético es uniforme en su sección, ($$$ \text{S}_2 = \pi\cdot \text{R}_2^2$$$) es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = N_2\cdot B(t)\cdot S_2}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \Phi(\text{t}) = 400\cdot [2.38\cdot 10^{-5}\cdot \text{sen}(10^5\pi t)\ \text{T}]\cdot (\pi\cdot (8\cdot 10^{-3})^2)\ \text{m}^2 = \color{royalblue}{\bf 1.91\cdot 10^{-6}\cdot sen(10^5\pi t)\ Wb}$$$

Derivas la expresión anterior con respecto al tiempo para obtener la fem:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon(t) = - \dfrac{d\Phi}{dt}}} = - 1.91 \cdot 10^{-6}\cdot 10^5\pi\cdot \text{cos}\ (10^5\pi \text{t})\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = -0.6\cdot cos\ (10^5\pi t)\ V}}$$$

El voltaje obtenido es directamente proporcional al número de espiras del receptor. Si el implante tuviera una sola espira, la fem máxima sería de apenas $$$ 1.5\cdot 10^{-3}\ \text{V}$$$, un valor insuficiente para cargar cualquier batería.

c) La potencia media se define en función de la fem eficaz, por lo que antes debes calcularla:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{\varepsilon_{\text{máx}}}{\sqrt{2}}}} = \dfrac{0.60\ \text{V}}{\sqrt{2}} = \color{royalblue}{\bf 0.424\ V}$$$

La potencia media disipada en la resistencia interna es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{P{m} = \dfrac{\varepsilon_{ef}^2}{R_{int}}}} = \dfrac{0.424^2\ \text{V}^2}{25\ \Omega} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.2\cdot 10^{-3}\ W}}$$$

Puedes expresar el resultado obtenido como 7.2 mW, que es un valor mayor que los 5 mW requeridos por el dispositivo implantado, por lo que sí se cargará correctamente y con seguridad.

[P(900)] Teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico creado por un hilo conductor (8631)

F_y_Q — 2026-05-11T14:22:08Z

Si quieres acceder al enunciado y la resolución numérica del problema resuelto en este vídeo puedes hacerlo haciendo clic en este enlace.

Velocidad mínima de un saque de tenis para pasar la red (1224)

F_y_Q — 2026-05-09T03:47:53Z

Un jugador de tenis hace un servicio golpeando la pelota horizontalmente a una altura de 2.15 m. Si la red está a 13 m de distancia y esta tiene una altura de 90 cm:

a) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima requerida para que la pelota pase justo por encima de la red?

b) ¿Dónde tocará el suelo en ese caso?

Puedes empezar el problema haciendo un esquema de la situación, colocando los datos iniciales y aquello que necesitas calcular. Este modo de hacerlo te permite aclarar las ideas y te ayuda a trazar la estrategia para resolverlo.

Se trata de un movimiento horizontal en el que la única aceleración, si no consideramos rozamientos, es la gravedad.

a) Como conoces la altura de la red y la altura desde la que se golpea la pelota, puedes calcular el tiempo que tardará la bola en llegar a la red usando la ecuación de la posición vertical de la pelota:

$$$ \text{y} = \text{h}_0 - \dfrac{\text{g}}{2}\text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t = \sqrt{\dfrac{2(h_0 - y)}{g}}} \quad [1]$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{t} = \sqrt{\dfrac{2(2.15 - 0.9)\ \cancel{\text{m}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 0.51\ s}$$$

Sustituyes este valor del tiempo en la ecuación de la posición horizontal de la pelota y le pones la condición de la distancia a la que se encuentra la red:

$$$ \text{x} = \text{v}_0\cdot \text{t}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{v_0 = \dfrac{x}{t}}} = \dfrac{13\ \text{m}}{0.51\ \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 25.5\ m\cdot s^{-1}}}$$$

b) Cuando la bola toque el suelo su altura será cero, por lo que puedes imponer esa condición en la ecuación [1] para calcular el tiempo que estará la pelota en el aire:

$$$ \require{cancel} \text{t}_\text{v} = \sqrt{\dfrac{2(2.15 - 0)\ \cancel{\text{m}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 0.66\ s}$$$

La distancia horizontal que recorre la pelota es:

$$$ \require{cancel} \text{d} = \text{v}_0\cdot \text{t} = 25.5\ \dfrac{m}{\cancel{\text{s}}}\cdot 0.66\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 16.8\ m}}$$$