Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

F_y_Q — 2025-05-29T11:34:42Z

Considera una partícula cuántica de masa «m» confinada en un pozo de potencial unidimensional infinito en el intervalo . En el instante t = 0, la función de onda de la partícula viene dada por:

a) Normaliza la función de onda inicial y verifica que ya está normalizada.

b) Expresa como una combinación lineal de los estados estacionarios del pozo infinito.

c) Determina la función de onda en un tiempo t > 0.

d) Calcula la probabilidad de que, al medir la energía, se obtenga el valor correspondiente al primer estado excitado (n = 2).

a) La función de onda inicial estará normalizada cuando cumpla la condición:

Escribes la ecuación sustiyendo la función de onda:

Si desarrollas el cuadrado y divides en tres integrales:

Las integrales son inmediatas y las calculas entre los límites de integración:

Si sacas factor común y simplificas:

Como puedes ver, la función de onda está normalizada.

b) La ecuación de los estados estacionarios de un pozo infinito es:

Tienes que expresar la función de onda como combinación lineal de los estados estacionarios:

Los coeficientes los calculas de esta manera:

Si operas con las constantes que está fuera del integrando tienes:

La resolución de la integral la haces en dos partes:

Combinas los términos anteriores y tienes:

Si tienes en cuenta que para valores pares de «n» los términos se cancelan y simplificas, obtienes:

Por lo tanto, para valores pares de «n» los coeficientes son nulos y para valores impares de «n» obtienes:

c) La función de onda en función del tiempo, escrita como combinación lineal de los estados estacionarios, es:

donde el término es:

d) Como para cualquier valor par de «n», la probabilidad de encontrar es nula, es decir:

Esto ocurre porque la función de onda es una combinación de estados estacionarios impares, como has calculado en el segundo apartado del problema.

Probabilidad de encontrar una partícula en una zona de una caja unidimensional (8103)

F_y_Q — 2023-12-01T05:33:26Z

Una partícula se mueve en el interior de una caja unidimensional de longitud a y potencial infinito en sus extremos calcular la probabilidad de encontrar la partícula a del lado izquierdo de la caja y para que valor del estado cuántico n es máxima esta probabilidad.

Como nuestro problema es unidimensional, vamos a considerar solo la componente «x» del sistema y la posición de la partícula tendrá que variar entre los puntos 0 y . La función de onda que vamos a considerar, por lo tanto, será:

La probabilidad que debes calcular la integral del producto de la conjugada de la función de onda por la propia función de onda. En este caso, al ser unidireccional, coinciden ambas ecuaciones:

Si multiplicas ambas funciones y sacas del integrando las constante, tienes:

Si aplicas la siguiente igualdad trigonométrica puedes hacer la integral más fácil:

La integral anterior, al sacar la constante y operar con la otra que estaba fuera del integrando, queda como:

Puedes dividir la integral en dos integrales; una de ellas es inmediata y la otra debe ser resuelta por sustitución:

El resultado de las integrales que obtienes es:

Aplicas los límites superior e inferior en cada caso y obtienes:

La solución depende de la función seno, con lo que el resultado no es único y es necesario hacer el análisis de los posibles valores de «n» para obtener las probabilidades.

Para valores impares de «n».

Haces dos divisiones de valores impares de «n»:

n = 1, 3, 9, 11, 17, 19...

n = 5, 7, 13, 15, 21, 23...

Para valores pares de «n».

En este caso la división la haces en tres grupos de valores:

n = 2, 10, 18, 26...

n = 4, 8, 12, 16, 20, 22...

n = 6, 14, 22, 30...

EjerciciosFyQ

Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

Probabilidad de encontrar una partícula en una zona de una caja unidimensional (8103)