Análisis dimensional de una ecuación con dos incógnitas

, por F_y_Q

Si la siguiente ecuación es homogénea, halla x + y:

p = \frac{1}{2}\rho\cdot v^x + \gamma\cdot h^y

(siendo p (presión, \rho (densidad), v (velocidad), \gamma (peso específico) y h (altura).


SOLUCIÓN:

Vamos a expresar cada una de las magnitudes de la ecuación en función de las magnitudes fundamentales y luego analizamos los términos:
\frac{[M][L]}{[L^2][t]^2} = \frac{[M]}{[L]^3}\cdot \frac{[L]^x}{[t]^x} + \frac{[M][L]}{[L]^3[t]^2}\cdot [L]^y
Podemos simplificar la magnitud masa ([M]) que está en todos los términos y reescribimos la ecuación con exponentes negativos:
[L]^{-1}[t]^{-2} = [L]^{x-3}[t]^{-x} + [L]^{-2+y}[t]^{-2}
Como es una ecuación homogénea, el valor de x ha de ser 2 para que el término [t]^{-2} esté presente en todos los términos de la ecuación.
Además se debe cumplir la ecuación -2 + y = -1, de donde y = 1.
Por lo tanto, \bf x + y = 3.