Ejercicios de Física y Química

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EBAU Andalucía Física junio 2017: ejercicio 1 opción A (resuelto)

a) Dos partículas, de masas m y 2m, se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados una distancia d. ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a las dos masas? ¿Y el potencial gravitatorio?
Justifica las respuestas.
b) Dos masas de 10 kg se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos (0, 0) m, (0, 4) m. Representa en un esquema el campo gravitatorio que crean en el punto (2, 2) m y calcula su valor.
G = 6,67\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2}


SOLUCIÓN:

a) El campo gravitatorio es una magnitud vectorial. Eso quiere decir que el punto que nos plantean debería estar entre ambas masas y debería cumplir que los módulos de los campos gravitatorios de ambas masas deben ser iguales. Como puedes ver en el esquema, si llamamos "x" a la distancia desde ese punto al cuerpo de menor masa (1), la otra distancia habrá de ser "d - x":
Vamos a imponer la condición de que la suma vectorial sea nula y esto nos lleva a que los módulos han de ser iguales:
\vec g_1 + \vec g_2 = 0\ \to\ g_1 = g_2
G\frac{m}{x^2} = G\frac{2m}{(d - x)^2}\ \to\ \frac{1}{x^2} = \frac{2}{(d - x)^2}
(Hemos cancelado tanto G como m por estar en ambos miembros en el numerador).
Empezamos a resolver la ecuación:
(d - x)^2 = 2x^2\ \to\ d^2 - 2dx + x^2 = 2x^2\ \to\ x^2 + 2dx - d^2 = 0
x = \frac{-2d\pm \sqrt{4d^2 + 4d^2}}{2} = \frac{-2d\pm \sqrt{8d^2}}{2}
Ahora debemos ser capaces de simplificar el resultado obtenido. Para ello trabajamos sobre el radicando:
x = \frac{-2d\pm 2\sqrt 2 d}{2}\ \to\ x = -d\pm \sqrt 2 d
Recuerda que estamos resolviendo una cuestión de física, es decir, que la expresión anterior ha de tener significado físico. Esto quiere decir que el término negativo podemos desecharlo porque estamos calculando una distancia. Nos queda la ecuación:

x = -d + \sqrt 2 d\ \to\ x = \bf d(\sqrt 2 - 1)

Esto quiere decir que el punto que estamos buscando estará situado a una distancia \bf d(\sqrt 2 - 1) de la carga de menor masa.
Para responder a lo que nos preguntan sobre el potencial gravitatorio hay que recordar que el potencial gravitatorio es una magnitud escalar.
Se define como V = -G\cdot \frac{m}{d}, es decir, es siempre negativo para una masa en el espacio pero es un NÚMERO. El potencial de ambas masas serán números negativos por lo que la suma de dos cantidades negativas es siempre una cantidad negativa, es decir, que no puede ser nulo en ningún punto.
b) En este apartado es fundamental hacer un buen esquema de la situación. Vamos a resolver el apartado haciendo la descomposición de los vectores de los campos gravitatorios de ambas masas. El esquema de la situación quedaría como sigue:
(Dibujamos en azul el triángulo rectángulo que nos sirve para determinar la distancia que separa al punto P de las dos masas consideradas).
La descomposición de los vectores \vec g_1 y \vec g_2 dará lugar a dos componentes verticales iguales de sentido contrario, cuya suma es cero, y dos componentes horizontales de la misma dirección y sentido decreciente, es decir, negativo. Podemos escribir la suma vectorial de ambos campos como:
\vec g_T = \vec g_1 + \vec g_2 = \vec g_{1x} + \vec g_{2x}
El ángulo que forman los vectores con el eje horizontal es 45º, dado que la tangente es uno. Esta suma vectorial queda:
\vec g_T = -G\cdot \frac{m}{d^2}(sen\ 45º + sen\ 45º)\ \vec i

\vec g_T = -\frac{6,67\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2}\cdot 10\ kg}{(\sqrt 8)^2\ m^2}\cdot \left(\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{\sqrt 2}{2}\right) = \bf -1,18\cdot 10^{-10}\ N\cdot kg^{-1}\ \vec i

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