Diferencia de alcance en un lanzamiento parabólico con y sin rozamiento

, por F_y_Q

Un objeto es lanzado con velocidad inicial v_0 = 55\ m/s y ángulo con la horizontal de \alpha = 75^o. Calcula la diferencia aproximada entre el alcance en el modelo ideal y el alcance en el modelo con resistencia, suponiendo que b = 0,1.


SOLUCIÓN:

Para hacer el ejercicio voy a suponer que la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad del objeto, despreciando el empuje. Habrá dos fuerzas sobre el objeto; su peso y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad del objeto y que es tangente a la trayectoria en cada punto. En este caso, el alcance máximo del objeto sigue la fórmula:
\left(\frac{g}{b} + v_{0y}\right)\frac{x}{v_{0x}} + \frac{g}{b^2}\cdot ln\left(1 - \frac{x\cdot b}{v_{0x}}\right) = 0
El logaritmo neperiano se debe desarrollar en serie y se obtiene una ecuación de segundo grado para el alcance:
\frac{2b}{3v_0\cdot cos\ \alpha}\cdot x^2 + x - x^*_{max} = 0
El alcance máximo ideal se puede obtener a partir de la ecuación:
x^*_{max} = \frac{v_0^2\cdot sen\ (2\alpha)}{g} = \frac{55^2\frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}\cdot sen\ 150^o}{9,8\frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}} = 154,34\ m
Sustituimos los valores en la ecuación de segundo grado:
\frac{2\cdot 0,1}{3\cdot 55\cdot cos\ 75^o}x^2 + x - 154,34 = 0\ \to\ 4,68\cdot 10^{-3}x^2 + x - 154,34 = 0
Resolviendo la ecuación anterior se obtiene un valor para el alcance con rozamiento de 103,9 m. La diferencia entre ambos alcances es:

\Delta x = x_{max}^* - x_{max} = (154,34 - 103,9)\ m = \bf 50,44\ m