EjerciciosFyQ

[T] Conceptos básicos de óptica geométrica para dioptrios (8626)

F_y_Q — 2026-04-24T05:22:56Z

Con este vídeo podrás aclarar conceptos muy importantes para entender cómo representar los sistemas ópticos y cómo resolver los problemas de lentes.

- 11 - Óptica Geométrica / Dioptrio esférico, Dioptrio plano, Lentes delgadas, Óptica geométrica

Óptica física: interferencia en una cuña de vidrio (8575)

F_y_Q — 2025-12-06T04:19:32Z

Se dispone de dos láminas planas de vidrio, cuyo índice de refracción es $$$ \text{n}_\text{v} = 1.5$$$, de longitud L = 10 cm. Una de ellas se apoya sobre la otra, pero en un extremo se separa mediante un alambre delgado de diámetro «d», formando una cuña de aire de ángulo muy pequeño «$$$ \alpha$$$», como se muestra en la figura:

El índice de refracción del aire es $$$ \text{n}_\text{a} = 1.0$$$. Se ilumina el sistema desde arriba con luz incidente normal a las láminas.

Parte A:

Cuando se utiliza luz monocromática de longitud de onda $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$, se observa un patrón de interferencia formado por franjas brillantes y oscuras. A lo largo de toda la longitud «L» se cuentan exactamente 20 franjas brillantes. Calcula:

i) El ángulo «$$$ \alpha$$$» de la cuña de aire.

ii) El diámetro «d» del alambre.

Parte B:

Ahora se ilumina la cuña con luz blanca, el espectro visible recorre los valores de longitud de onda desde 400 nm a 700 nm. Describe cualitativamente qué se observa en:

iii) El extremo donde las láminas están en contacto, «x = 0».

iv) En una posición ubicada a «x = 2 cm» del borde de contacto.

Las interferencias en una lámina delgada, cuando la luz incide normalmente sobre una cuña de aire, los rayos reflejados en la superficie superior e inferior interfieren. La diferencia de camino óptico es $$$ \delta = 2\text{n}_\text{a}\cdot \text{t} + \frac{\lambda}{2}$$$, donde el término $$$ \frac{\lambda}{2}$$$ surge del cambio de fase $$$ \pi$$$ en la reflexión en la interfaz aire-vidrio inferior, porque la reflexión en la interfaz vidrio-aire superior no produce cambio de fase porque «$$$ \text{n}_\text{v}$$$» es mayor que «$$$ \text{n}_\text{a}$$$».

La interferencia será constructiva cuando $$$ \delta = \text{m}\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 1, 2, 3,...». La interferencia será destructiva cuando $$$ \delta = (\text{m} + \frac{1}{2})\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 0, 1, 2,...».

El término «t» hace referencia al espesor de aire y está relacionado con la distancia «x» al vértice en el que se unen ambas láminas de vidrio y es función del ángulo: «$$$ \text{t}(x) = \alpha\cdot x$$$». En el extremo derecho. «$$$ \text{t(L)} = \text{d} = \alpha\cdot \text{L}$$$».

Parte A: Luz monocromática con $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$.

i) Para calcular el ángulo de la cuña de aire debes comenzar por analizar la posición de las franjas brillantes. Para ello, tienes en cuenta la ecuación de las interferencias constructivas:

$$$ 2\text{t} + \dfrac{\lambda}{2} = \text{m}\cdot \lambda\ \to\ \color{forestgreen}{\bf 2t = \left( m - \dfrac{1}{2} \right) \lambda}$$$

Reescribes la ecuación anterior porque «t» depende del ángulo de la cuña, que es lo que quieres calcular:

$$$ 2\alpha\cdot x = \left(\text{m} - \dfrac{1}{2} \right) \lambda\ \to\ \ \color{forestgreen}{\bf{x_\text{m} = \dfrac{(\text{m} - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}}}, \quad \text{m} = 1, 2, 3, \dots$$$

La primera franja brillante se da cuando «m = 1», la segunda será para «m = 2» y así sucesivamente:

$$$ \color{royalblue}{\bf x_1 = \dfrac{\lambda}{4\alpha}}$$$
$$$ \color{royalblue}{\bf x_2 = \dfrac{3\lambda}{4\alpha}}$$$

El espaciado entre franjas brillantes consecutivas es constante:

$$$ \Delta x = x_{\text{m}+1} - x_\text{m}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \Delta x = \dfrac{\lambda}{2\alpha}}$$$

Como son 20 las franjas brillantes a lo largo de la longitud «L», y si asumes que la primera franja brillante aparece cerca del borde en el que están en contacto las láminas y la última en el extremo opuesto, la franja número 20 corresponde a:

$$$ x_{20} = \text{L} = \dfrac{(20 - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf L = \dfrac{39 \lambda}{4\alpha}}$$$

Ahora puedes despejar el valor de «$$$ \alpha$$$» y calcularlo:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\alpha = \dfrac{39\lambda}{4L}}}\ \to\ \alpha = \dfrac{39\cdot 600\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 0.1\ \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-5}\ \text{rad}}}$$$

ii) El cálculo del diámetro del alambre es inmediato si tienes en cuenta que cuando «x = L» se cumple que «t = d»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{d = \alpha\cdot L}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.1\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-6}\ m}}$$$

Parte B: Luz blanca con $$$ 400\ \text{nm} \leq \lambda \leq 700\ \text{nm}$$$.

En este caso, cada una de las longitudes de onda interfiere según su propia condición, por lo que el patrón resultante será una superposición de franjas coloreadas.

iii) Donde las láminas están en contacto «t = 0». La diferencia de camino óptico es el mismo para todas las longitudes de onda $$$ (\delta = \frac{\lambda}{2})$$$, que coincide con las interferencias destructivas. Eso quiere decir que se observará una franja oscura en ese punto.

iv) Lo primero que debes hacer es calcular el espesor de aire que corresponde a la distancia «x = 2 cm» del extremo izquierdo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{t = \alpha\cdot x}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.02\ \text{m} = \color{royalblue}{\bf 1.17\cdot 10^{-6}\ m}$$$

La condición para interferencia constructiva es:

$$$ 2\text{t} = \left(\text{m} - \frac{1}{2} \right) \lambda, \quad (\text{Ec}.\ 1)$$$

Despejas el valor de «m» en la ecuación y obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda} + \dfrac{1}{2}}$$$

Si impones los límites de la longitud de onda en el espectro visible puedes calcular los órdenes «m» para los que estás dentro del visible:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 6.37\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 3.84\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 4}$$$

Si despejas el valor de la longitud de onda de la «Ec.1» obtienes:

$$$ \lambda = \dfrac{2\text{t}}{\text{m} - \frac{1}{2}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{4t}{2m - 1}}}, \quad m = 4, 5\ \text{y}\ 6$$$

Haces el cálculo para los valores de «m» del visible y obtienes las longitudes de onda:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{7} = 6.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 668\ \text{nm} \quad (rojo)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{9} = 5.20\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 520\ \text{nm} \quad (verde)}}$$$

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{11} = 4.25\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 425\ \text{nm} \quad (violeta)}}$$$

Para las interferencias destructivas puedes hacer una deducción análoga a la que has realizado para las interferencias constructivas. La condición de interferencia destructiva es:

$$$ 2\text{t} = \text{m}\cdot \lambda \quad (\text{Ec}.\ 2)$$$

Si despejas el valor de «m» obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda}}$$$

Los valores de «m» para los extremos de longitud de onda para el visibles son:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 5.85\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 3.34\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 3}$$$

Si despejas la longitud de onda de la «Ec. 2» obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{2t}{m}}$$$

Sustituyes los valores de «m» calculados en esta última ecuación:

$$$ (\text{m} = 3)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{3} = 7.8\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 780\ nm}$$$

Este valor está fuera del rango visible porque es un valor extremo. Puedes analizar qué pasa con el otro valor extremo:

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{6} = 3.9\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 390\ nm}$$$

También queda fuera del intervalo del espectro visible, aunque muy cerca del violeta. Los valores intermedios sí que deben coincidir con el rango del espectro visible:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{4} = 5.85\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 585\ nm \quad (amarillo-naranja)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{5} = 4.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 468\ nm \quad (azul)}}$$$

Como el espectro es continuo, en «x = 2 cm» se observará una mezcla de colores, con intensidades máximas (franjas brillantes) en tonos rojos, verdes y violetas, y mínimos (franjas oscuras) en tonos amarillo-naranja y azul. Este patrón de bandas de colores irisados es característico de la interferencia de luz blanca en películas delgadas.

[P(981)] Altura a la que ve un helicóptero un buceador dentro del agua (7962)

F_y_Q — 2023-06-16T06:55:49Z

Si clicas aquí puedes ver el enunciado y la solución al problema resuelto en el vídeo.

Profundidad real de un pez, sabiendo su profundidad aparente (7958)

F_y_Q — 2023-06-12T07:17:09Z

Calcula la profundidad real a la que se encuentra un pez que observamos a 1 m de profundidad, en el agua n = 1.33. Recuerda que lo que vemos es la profundidad aparente.

Basta con que tengas en cuenta la ecuación fundamental del dioptrio estérico:

Si la superficie del agua es plana, puedes considerar que el radio de curvatura es infinito y tener la relación entre los índices de refracción y las distancias real y aparente:

Despejas el valor de s:

Sustituyes y calculas el valor de la profundidad real:

[P(980)] Dioptrio plano: profundidad de un recipiente relleno de etanol (7710)

F_y_Q — 2022-09-08T06:25:09Z

Si clicas en este enlace puedes ver el enunciado y las soluciones del problema que se resuelve en el vídeo:

Distancias relativas entre un pez y un pescador (6611)

F_y_Q — 2020-05-28T19:54:12Z

Un pescador situado en su barca se encuentra a 2.1 m de altura por encima de la superficie del agua, mientras que un pez nada a 0.5 m debajo de la superficie. El índice de refracción del agua es 4/3.

a) ¿A qué distancia ve el pescador el pez?

b) ¿Y el pez al pescador?

Debes aplicar la ley del dioptrio plano para resolver el ejercicio y es bueno que te hagas un esquema de la situación. La ley del dioptrio plano es:

El esquema de la situación puede ser:

(Clicando en la miniatura puedes ver la imagen con más detalle)

a) El pescador verá al pez en ( de color marrón). Lo ve como consecuencia del reflejo de la luz en el pez, por lo que la ecuación anterior la aplicas como:

Sumando la distancia a la que está el pescador sobre la superficie que separa ambos medios obtienes:

b) En el caso del pez, el esquema que sigues es el de color verde. Ahora el medio primero es el aire y s = 2.1 m, con lo que la ecuación queda como:

Altura a la que un buceador ve un helicóptero (981)

F_y_Q — 2010-08-19T09:50:11Z

Un helicóptero sobrevuela un pantano a una altura de 175 m, ¿a qué distancia vería un buceador al helicóptero?

(El índice de refracción del agua 1.33 y el del aire es 1).

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

Profundidad de un recipiente con alcohol que actúa como dioptrio plano (980)

F_y_Q — 2010-08-19T09:10:02Z

En el fondo de un recipiente lleno de alcohol etílico hay un objeto circular de 1.25 cm de radio. La profundidad aparente del objeto es de 24 cm:

a) ¿Cuál es la profundidad del recipiente?

b) ¿Cuánto mide el radio de la imagen del objeto?

(El índice de refracción del etanol es 1.361)

a)

b)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.