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La función de onda que vamos a considerar, por lo tanto, será: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/bf0bf03978f26a55ce5b9a7e7d0adfb5.png' style="vertical-align:middle;" width="122" height="43" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\sqrt{\frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\sqrt{\frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)}}" /> <br/> <br/> La probabilidad que debes calcular la integral del producto de la conjugada de la función de onda por la propia función de onda. En este caso, al ser unidireccional, coinciden ambas ecuaciones: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/8c59d2bc3ebe335d38f51586c2edacb0.png' style="vertical-align:middle;" width="417" height="43" alt="P(0, \frac{a}{8}) = \int_0^{\frac{a}{8}}\psi^*\cdot \psi\cdot dx = \int_0^{\frac{a}{8}} \frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot \frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)" title="P(0, \frac{a}{8}) = \int_0^{\frac{a}{8}}\psi^*\cdot \psi\cdot dx = \int_0^{\frac{a}{8}} \frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot \frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)" /> <br/> <br/> Si multiplicas ambas funciones y sacas del integrando las constante, tienes: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/011e4194657d4d3b42d5a4dbb55ae97a.png' style="vertical-align:middle;" width="267" height="44" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P(0, \frac{a}{8}) = \frac{2}{a}\int_0^{\frac{a}{8}} sen^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot dx}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P(0, \frac{a}{8}) = \frac{2}{a}\int_0^{\frac{a}{8}} sen^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot dx}}" /> <br/> <br/> Si aplicas la siguiente igualdad trigonométrica puedes hacer la integral más fácil: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/208974ff322c92446c792719f834abe0.png' style="vertical-align:middle;" width="140" height="34" alt="sen^2 \alpha = \frac{1-cos\ 2\alpha}{2}" title="sen^2 \alpha = \frac{1-cos\ 2\alpha}{2}" /> <br/> <br/> La integral anterior, al sacar la constante <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/26da16dcd83476d49b0255dcbae8635b.png' style="vertical-align:middle;" width="12" height="45" alt="\textstyle{1\over 2}" title="\textstyle{1\over 2}" /> y operar con la otra que estaba fuera del integrando, queda como: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/246647ba8bb3a6d8a0299325376edd35.png' style="vertical-align:middle;" width="321" height="44" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P(0, \frac{a}{8}) = \frac{1}{a} \int_0^{\frac{a}{8}} \left[1 - cos\ \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right]\cdot dx}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P(0, \frac{a}{8}) = \frac{1}{a} \int_0^{\frac{a}{8}} \left[1 - cos\ \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right]\cdot dx}}" /> <br/> <br/> Puedes dividir la integral en dos integrales; una de ellas es inmediata y la otra debe ser resuelta por sustitución: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/1187ad4d7640fdd21ef0df024ea35722.png' style="vertical-align:middle;" width="335" height="50" alt="P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{a}\left[ \int_0^{\frac{a}{8}} dx - \int_0^{\frac{a}{8}} cos\ \left(\dfrac{2n\pi x}{a}\right)\cdot dx\right]" title="P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{a}\left[ \int_0^{\frac{a}{8}} dx - \int_0^{\frac{a}{8}} cos\ \left(\dfrac{2n\pi x}{a}\right)\cdot dx\right]" /> <br/> <br/> El resultado de las integrales que obtienes es: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/af8a21137cf9622d64bf70d9fe52b9ff.png' style="vertical-align:middle;" width="314" height="40" alt="P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{a} \left[x |_0^{\frac{a}{8}} - \frac{a}{2n\pi}\cdot sen\ \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) |_0^{\frac{a}{8}\right]" title="P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{a} \left[x |_0^{\frac{a}{8}} - \frac{a}{2n\pi}\cdot sen\ \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) |_0^{\frac{a}{8}\right]" /> <br/> <br/> Aplicas los límites superior e inferior en cada caso y obtienes: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/642d3f91d6f6bebcac110f5ee95163da.png' style="vertical-align:middle;" width="444" height="38" alt="P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{8} - \frac{1}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{2n\pi}\cdot sen\ \frac{2n\pi \cancel{a}}{8 \cancel{a}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{1}{8} - \frac{1}{2n\pi}\cdot sen\ \frac{n\pi}{4}}}" title="P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{8} - \frac{1}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{2n\pi}\cdot sen\ \frac{2n\pi \cancel{a}}{8 \cancel{a}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{1}{8} - \frac{1}{2n\pi}\cdot sen\ \frac{n\pi}{4}}}" /> <br/> <br/> La solución depende de la función seno, con lo que el resultado no es único y es necesario hacer el análisis de los posibles valores de «n» para obtener las probabilidades. <br/> <br/> <u>Para valores impares de «n»</u>. <br/> <br/> Haces dos divisiones de valores impares de «n»: <br/> <br/> n = 1, 3, 9, 11, 17, 19... <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/9d8a6a2dc1ee39fdb2237f7d85862654.png' style="vertical-align:middle;" width="154" height="34" alt="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4n\pi}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4n\pi}}}}" /> <br/> <br/> n = 5, 7, 13, 15, 21, 23... <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/a1e73dcd8a23f10b3b0c0e815ea4e59f.png' style="vertical-align:middle;" width="154" height="34" alt="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4n\pi}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4n\pi}}}}" /> <br/> <br/> <u>Para valores pares de «n»</u>. <br/> <br/> En este caso la división la haces en tres grupos de valores: <br/> <br/> n = 2, 10, 18, 26... <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/548257a4a0fae783d70d4e7d28528b89.png' style="vertical-align:middle;" width="154" height="30" alt="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2n\pi}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2n\pi}}}}" /> <br/> <br/> n = 4, 8, 12, 16, 20, 22... <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/e6fa40cfbd9af3730b1886eb0ecd7935.png' style="vertical-align:middle;" width="105" height="30" alt="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8}}}}" /> <br/> <br/> n = 6, 14, 22, 30... <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/5eb96ffd8c03b7bbe6d495bdebb3e56b.png' style="vertical-align:middle;" width="154" height="30" alt="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2n\pi}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2n\pi}}}}" /></math></p></div>