https://ejercicios-fyq.com/ Ejercicios Resueltos, Situaciones de aprendizaje y VÍDEOS de Física y Química para Secundaria y Bachillerato es SPIP - www.spip.net https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L144xH25/siteon0-da713.png?1758361862 https://ejercicios-fyq.com/ 25 144 https://ejercicios-fyq.com/Niveles-del-oscilador-armonico-cuantico-y-diferencia-de-energia-entre-dos https://ejercicios-fyq.com/Niveles-del-oscilador-armonico-cuantico-y-diferencia-de-energia-entre-dos 2025-02-20T03:34:52Z text/html es F_y_Q RESUELTO Oscilador armónico cuántico <p>Un oscilador armónico cuántico tiene un hamiltoniano dado por: <br class='autobr' /> <br class='autobr' /> donde «p» es el operador momento, «m» es la masa de la partícula, es la frecuencia angular del oscilador, y «x» es el operador posición. <br class='autobr' /> a) Demuestra que los niveles de energía del oscilador armónico cuántico son: <br class='autobr' /> b) Calcula la diferencia de energía entre el primer estado excitado (n = 1) y el estado fundamental (n = 0).</p> - <a href="https://ejercicios-fyq.com/Fisica-cuantica-288" rel="directory">Física cuántica</a> / <a href="https://ejercicios-fyq.com/RESUELTO" rel="tag">RESUELTO</a>, <a href="https://ejercicios-fyq.com/Oscilador-armonico-cuantico" rel="tag">Oscilador armónico cuántico</a> <div class='rss_texte'><p>Un oscilador armónico cuántico tiene un hamiltoniano dado por:</p> <p> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L181xH48/d78bc1351273d7b262593f5597a27d1d-154ec.png?1740022639' style='vertical-align:middle;' width='181' height='48' alt="H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2" title="H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2" /></p> </p> <p>donde «p» es el operador momento, «m» es la masa de la partícula, <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L18xH30/260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d-fbe90.png?1732988599' style='vertical-align:middle;' width='18' height='30' alt="\omega" title="\omega" /> es la frecuencia angular del oscilador, y «x» es el operador posición.</p> <p>a) Demuestra que los niveles de energía del oscilador armónico cuántico son:</p> <p><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L326xH52/e1ecfe7c765052cee1bb71b647c2db3f-1e796.png?1740022639' style='vertical-align:middle;' width='326' height='52' alt="E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots" title="E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots" /></p> <p>b) Calcula la diferencia de energía entre el primer estado excitado (n = 1) y el estado fundamental (n = 0).</math></p></div> <hr /> <div <div class='rss_ps'><p>a) Puedes escribir el hamiltoniano del oscilador armónico en función de los operadores de creación (<img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/cc5f97acddfc0a1713b7d66a425e1baf.png' style="vertical-align:middle;" width="17" height="20" alt="a^\dagger" title="a^\dagger" />) y aniquilación (<img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png' style="vertical-align:middle;" width="10" height="10" alt="a" title="a" />), cuyas fórmulas son: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/d1a072c4dcd966ab90a3faebcca0c325.png' style="vertical-align:middle;" width="214" height="54" alt="a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x + \frac{i}{m\omega} p\right)" title="a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x + \frac{i}{m\omega} p\right)" /> y <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/8a4f211936b60bce8a0babe4c13a533c.png' style="vertical-align:middle;" width="223" height="54" alt="\quad a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x - \frac{i}{m\omega} p\right)" title="\quad a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x - \frac{i}{m\omega} p\right)" /> <br/> <br/> La fórmula del hamiltoniano es: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/afcd0fd5d72ca8ce26c90083cda9fbb5.png' style="vertical-align:middle;" width="194" height="52" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{H = \hbar \omega \left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{H = \hbar \omega \left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)}}" /> <br/> <br/> El operador número (<img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/4f9469897f41b112a3c27d1b05088abe.png' style="vertical-align:middle;" width="77" height="20" alt="N = a^\dagger a" title="N = a^\dagger a" />) cumple con la condición (<img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/e4d0f745d1aeb9ab04965b4a444ead6c.png' style="vertical-align:middle;" width="111" height="23" alt="N |n\rangle = n |n\rangle" title="N |n\rangle = n |n\rangle" />), donde <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/dc42978c67f1b8fc875820171cb2c937.png' style="vertical-align:middle;" width="22" height="23" alt="|n\rangle" title="|n\rangle" /> son los estados propios del oscilador armónico. Puedes reescribir la ecuación anterior como: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/a209ac3a2b2eb711f9fc12a17ba9132b.png' style="vertical-align:middle;" width="181" height="52" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{H = \hbar \omega \left(N + \frac{1}{2}\right)}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{H = \hbar \omega \left(N + \frac{1}{2}\right)}}" /> <br/> <br/> Si das los distintos valores al operador número tienes la ecuación: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/bb61a0bd629aa8d9054bf7661a419dd1.png' style="vertical-align:middle;" width="353" height="40" alt="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, {...}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, {...}}}}" /></p> <br/> b) Lo primero que debes hacer es escribir las ecuaciones para las energías del estado fundamental y el primer estado excitado: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/eac66746a1aef6cbd17a169a638b6eb4.png' style="vertical-align:middle;" width="227" height="65" alt="\left E_0 = \hbar \omega \left(0 + \frac{1}{2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{\hbar \omega}{2}}}} \atop E_1 = \hbar \omega \left(1 + \frac{1}{2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{3\hbar \omega}{2}}}} \right \}" title="\left E_0 = \hbar \omega \left(0 + \frac{1}{2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{\hbar \omega}{2}}}} \atop E_1 = \hbar \omega \left(1 + \frac{1}{2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{3\hbar \omega}{2}}}} \right \}" /> <br/> <br/> La diferencia de energía es: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/110dc42c9e7ec324a6d597cfe40261ef.png' style="vertical-align:middle;" width="421" height="45" alt="\Delta E = E_1 - E_0 = \frac{3\hbar \omega}{2} - \frac{\hbar \omega}{2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta E = \hbar \omega}}}" title="\Delta E = E_1 - E_0 = \frac{3\hbar \omega}{2} - \frac{\hbar \omega}{2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta E = \hbar \omega}}}" /></p> </math></p></div>