Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

F_y_Q — 2025-05-29T11:34:42Z

Considera una partícula cuántica de masa «m» confinada en un pozo de potencial unidimensional infinito en el intervalo . En el instante t = 0, la función de onda de la partícula viene dada por:

a) Normaliza la función de onda inicial y verifica que ya está normalizada.

b) Expresa como una combinación lineal de los estados estacionarios del pozo infinito.

c) Determina la función de onda en un tiempo t > 0.

d) Calcula la probabilidad de que, al medir la energía, se obtenga el valor correspondiente al primer estado excitado (n = 2).

a) La función de onda inicial estará normalizada cuando cumpla la condición:

Escribes la ecuación sustiyendo la función de onda:

Si desarrollas el cuadrado y divides en tres integrales:

Las integrales son inmediatas y las calculas entre los límites de integración:

Si sacas factor común y simplificas:

Como puedes ver, la función de onda está normalizada.

b) La ecuación de los estados estacionarios de un pozo infinito es:

Tienes que expresar la función de onda como combinación lineal de los estados estacionarios:

Los coeficientes los calculas de esta manera:

Si operas con las constantes que está fuera del integrando tienes:

La resolución de la integral la haces en dos partes:

Combinas los términos anteriores y tienes:

Si tienes en cuenta que para valores pares de «n» los términos se cancelan y simplificas, obtienes:

Por lo tanto, para valores pares de «n» los coeficientes son nulos y para valores impares de «n» obtienes:

c) La función de onda en función del tiempo, escrita como combinación lineal de los estados estacionarios, es:

donde el término es:

d) Como para cualquier valor par de «n», la probabilidad de encontrar es nula, es decir:

Esto ocurre porque la función de onda es una combinación de estados estacionarios impares, como has calculado en el segundo apartado del problema.

Constante de normalización y probabilidad de estar en el estado fundamental sabiendo la función de onda (8396)

F_y_Q — 2025-02-12T04:31:53Z

Una partícula de masa «m» está confinada en una caja unidimensional de longitud «L», con paredes infinitamente altas, es decir, con potencial infinito fuera de la caja. La función de onda inicial de la partícula es:

a) Determina la constante de normalización «A».

b) Encuentra la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado fundamental (n=1).

a) La normalización de la función de onda debe cumplir:

El cuadrado de la función de onda, en el intervalo de la integral, y la integral que tienes que resolver son:

Se trata de una integral con integrando trignométrico y puedes resolverla si tienes en cuenta la ecuación del cuadrado del seno:

Sustituyes en la función:

Para hacer la integral la separas en dos integrales:

La primera integral es:

La integral trigonométrica es:

La constante de normalización será:

b) La función de onda del estado fundamental de una partícula en una dimensión es:

Observa que es de la misma forma que la función de onda y eso va a ser muy relevante. La probabilidad de que esté en el estado fundamental será:

Simplificas la expresión anterior y resuelves:

EjerciciosFyQ

Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

Constante de normalización y probabilidad de estar en el estado fundamental sabiendo la función de onda (8396)