EjerciciosFyQ

PAU Andalucía: química (junio 2026) - ejercicio 5 (8673)

F_y_Q — 2026-07-22T03:43:44Z

ARSÉNICO O EL LUJO DE BEBER UN VASO DE AGUA POTABLE

El arsénico se conoce desde tiempos remotos y ha tenido múltiples usos en diversas áreas, desde la medicina hasta la industria. Se trata de un elemento esencial para la vida y, sin embargo, se da la gran paradoja de que también es muy tóxico. Una exposición continuada a este elemento causa lesiones en la piel, neuropatías y aumenta significativamente el riesgo de padecer cáncer. A esto hay que añadir que es el contaminante natural más abundante de las aguas subterráneas, lo que constituye un motivo de gran preocupación a nivel mundial. Para proteger la salud humana, el nivel máximo permitido de arsénico en agua potable establecido por la Organización Mundial de la Salud (OMS) es de $$$ 0.01\ \text{mg}\cdot \text{L}^{-1}$$$.

Hasta la fecha, se han desarrollado diversas técnicas para la eliminación de este contaminante del agua potable. Una de las más habituales conlleva la oxidación de $$$ \text{H}_3\text{AsO}_3$$$ (forma predominante en ambientes donde no hay oxígeno) a $$$ \text{H}_3\text{AsO}_4$$$ y posterior precipitación en forma de un compuesto altamente insoluble.

Se sabe que con oxígeno la reacción de oxidación ocurre muy lentamente, alcanzando un rendimiento del $$$ 57\ \%$$$ al cabo de 5 días, lo que obliga a usar otros agentes oxidantes mucho más rápidos, tales como $$$ \text{Cl}_2$$$, peróxido de hidrógeno, HClO o permanganato de potasio.

Para eliminar el arsénico del agua y hacerla apta para el consumo humano, es habitual añadir $$$ \bf FeCl_3$$$ que genera hidróxido de hierro(III). Este reacciona con el ácido arsénico formando $$$ \text{FeAsO}_4$$$, compuesto muy poco soluble ($$$ \text{K}_\text{S}= 6.3\cdot 10^{-21}$$$).

a) Escribe y ajusta la reacción de oxidación del $$$ \text{H}_3\text{AsO}_3$$$ a $$$ \text{H}_3\text{AsO}_4$$$ con $$$ \text{O}_2$$$ en medio ácido empleando el método del ion-electrón.

b) Sabiendo que el aire contiene un $$$ 21\ \%$$$ en volumen de $$$ \text{O}_2$$$, ¿qué volumen de aire, medido a 273 K y 1 atm, se debe burbujear por mol de $$$ \text{H}_3\text{AsO}_3$$$ en un agua natural contaminada? ¿Qué volumen del oxígeno quedaría sin reaccionar al cabo de 5 días?

c) Demuestra que, tras precipitar $$$ \text{FeAsO}_4$$$, el agua tratada cumple las recomendaciones de la OMS.

d) Nombra o formula, según corresponda, las sustancias que aparecen en negrita en el texto.

Masa atómica relativa: As= 75.

Este ejercicio es un ejercicio competencial con el que la prueba de la PAU pretende evaluar la competencia química de los estudiantes, lo que hace que la resolución deba ser acorde a lo que evalúa.

a) Tienes que ajustar la reacción usando el método ion-electrón y teniendo en cuenta que es en medio ácido. Primero debes escribir la semirreacciones de oxidación y reducción. El arsénico cambia su estado de oxidación de 3+ a 5+, por lo que se oxida, mientras que el oxígeno varía su estado de oxidación de 0 a 2-, reduciéndose.

Oxidación: $$$ \text{H}_3\overset{3+}{\text{As}}\text{O}_3\ \to\ \text{H}_3\overset{5+}{\text{As}}\text{O}_4$$$

Añades una molécula de agua en la izquierda, para igualar los átomos de oxígeno, dos protones a la derecha, para igualar el número de hidrógenos, y dos electrones a la derecha para que sean iguales las cargas:

$$$ \color{royalblue}{\bf H_3\overset{3+}{As}O_3 + H_2O\ \to\ H_3\overset{5+}{As}O_4 + 2H^+ + 2e^-}$$$

Reducción: $$$ \overset{0}{\text{O}}_2\ \to\ \text{H}_2\overset{2-}{\text{O}}$$$

Igualas los átomos de oxígeno colocando una molécula más de agua a la derecha y tienes que añadir cuatro protones a la izquierda para igualar los hidrógenos. También añades cuatro electrones a la izquierda para igualar las cargas:

$$$ \color{royalblue}{\bf \overset{0}{O}_2 + 4H^+ + 4e^-\ \to\ 2H_2\overset{2-}{O}}$$$

Para que las cargas sean iguales en el proceso de oxidación y de reducción debes multiplicar por dos la semirreacción de oxidación y luego puedes sumar ambas para conseguir la reacción global ajustada:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{2H_3AsO_3 + \cancel{2H_2O}\ \to\ 2H_3AsO_4 + \cancel{4H^+} + \cancel{4e^-}}}\\ \color{forestgreen}{\bf{O_2 + \cancel{4H^+} + \cancel{4e^-}\ \to\ \cancel{2H_2O}}}$$$

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf 2H_3AsO_3 + O_2\ \to\ 2H_3AsO_4}}$$$

b) La estequiometría de la reacción es 2:1, es decir, necesitas la mitad de los moles de oxígeno que de $$$ \text{H}_3\text{AsO}_3$$$. Para cada mol de compuesto de arsénico necesitas medio mol de dioxígeno. El volumen que ocupan esos moles es:

$$$ \require{cancel} \text{PV} = \text{nRT}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{V = \dfrac{nRT}{P}}} = \dfrac{0.5\ \cancel{\text{mol}}\cdot 0.082\ \dfrac{\cancel{\text{atm}}\cdot \text{L}}{\cancel{\text{K}}\cdot \cancel{\text{mol}}}\cdot 273\ \cancel{\text{K}}}{1\ \cancel{\text{atm}}} = \color{royalblue}{\bf 11.2\ L\ O_2}$$$

Aplicas el porcentaje de oxígeno en el aire para determinar el volumen de aire por cada mol que quieres tratar del compuesto de arsénico:

$$$ \require{cancel} 11.2\ \cancel{\text{L O}_2}\cdot \dfrac{100\ \text{L aire}}{21\ \cancel{\text{L O}_2}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 53.3\ L\ aire}}$$$

Cuando transcurren cinco días el rendimiento de la reacción solo alcanza el $$$ 57\ \%$$$, por lo que queda sin reaccionar el $$$ 43\ \%$$$ del oxígeno. Si lo refieres al volumen calculado antes, quedarán sin reaccionar:

$$$ 11.2\ \text{L}\cdot 0.43 = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.82\ L\ O_2}}$$$

c) Cuando se añade el tricloruro de hierro se produce la precipitación del $$$ \text{FeAsO}_4$$$, que es un compuesto muy poco soluble. El equilibrio de solubilidad que se establece es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf FeAsO_4(s)\ \rightleftharpoons\ Fe^{3+}(aq) + AsO_4^{3-}(aq)}$$$

A partir del dato del producto de solubilidad, y llamando «s» a la fracción que se disuelve del compuesto, puedes escribir el producto de solubilidad en función de la solubilidad:

$$$ \text{K}_\text{S} = [\text{Fe}^{3+}]\cdot [\text{AsO}_4^{3-}] = \text{s}\cdot \text{s}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf K_S = s^2}$$$

El cálculo de la solubilidad es muy fácil:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{s = \sqrt{K_S}}} = \sqrt{6.3\cdot 10^{-21}} = \color{royalblue}{\bf 7.94\cdot 10^{-11}\ M}$$$

Este valor coincide con la concentración de arsénico en la disolución porque cada anión $$$ (\text{AsO}_4)^{3+}$$$ contiene un átomo de arsénico. Para saber si cumple con las recomendaciones de la OMS necesitas expresar la solubilidad en las mismas unidades que las que usa el enunciado. A partir de la masa atómica del arsénico, puedes convertir la solubilidad molar en $$$ \text{mg}\cdot \text{L}^{-1}$$$:

$$$ \require{cancel} 7.94\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\cancel{\text{mol}}}{\text{L}}\cdot \dfrac{75\ \cancel{\text{g}}}{1\ \cancel{\text{mol}}}\cdot \dfrac{10^3\ \text{mg}}{1\ \cancel{\text{g}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.96\cdot 10^{-6}\ mg\cdot L^{-1}}}$$$

Como la concentración residual de arsénico es muchísimo menor que el límite máximo permitido por la OMS, queda demostrado que el agua tratada cumple rigurosamente con las recomendaciones.

d) Los nombres y fórmulas de los compuestos del texto son:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf (\text{peróxido de hidrógeno}):\ H_2O_2\\ (HClO):\ \text{ácido hipocloroso}\\ (\text{permanganato de potasio}):\ KMnO_4\\ (FeCl_3):\ \text{cloruro de hierro(III)}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

Ejercicio competencial: seguridad de un sistema de carga por inducción para un implante de neuroestimulación (8632)

F_y_Q — 2026-05-13T08:33:41Z

Seguro que te resulta familiar la tecnología de carga «sin cable» de los móviles, es decir, dejando el aparato sobre una base que lo carga solo por contacto con ella. Esta tecnología se aplica a otros dispositivos médicos que son implantados en el cuerpo, como los neuroestimuladores para el tratamiento del dolor crónico o los marcapasos para controlar el ritmo cardíaco. Se recargan mediante inducción magnética desde el exterior, colocando una bobina externa (emisora), por la que circula una corriente alterna, sobre la piel del paciente, justo encima de donde se encuentra el implante (bobina receptora). Sin embargo, la normativa de seguridad ICNIRP, siglas en inglés de la Comisión Internacional de Protección contra Radiaciones No Ionizantes, establece que, para evitar daños en las células de los tejidos del paciente por calentamiento o corrientes parásitas, el campo magnético en el tejido no debe superar ciertos umbrales de seguridad.

A una señora se le implanta un neuroestimulador para controlar el dolor crónico en la zona lumbar a una profundidad de 1.5 cm bajo la piel. El aparato tiene una bobina de 400 espiras de 0.8 cm de radio y una resistencia interna de $$$ 25\ \Omega$$$. Para cargar el implante se dispone de un cargador magnético con una bobina de 50 espiras y 2.5 cm de radio por la que circula una corriente eléctrica alterna de intensidad $$$ \text{I}(t) = 0.03\cdot \text{sen}\ (10^5\pi t)\ (\text{A})$$$. Si el campo magnético máximo que permite la norma ICNIRP para frecuencias de 50 kHz es de $$$ 27\ \mu T$$$:

a) Calcula el valor máximo del campo magnético ($$$ \text{B}_{\text{máx}}$$$) en el centro de la bobina del implante. Determina si el dispositivo cumple con la normativa ICNIRP.

b) Obtén la expresión de la fuerza electromotriz inducida en el implante. ¿Cómo afecta al voltaje obtenido el hecho de tener 400 espiras en lugar de una sola espira?

c) Si la potencia necesaria para cargar la batería del implante es de 5 mW, calcula la potencia media que este sistema entrega a la resistencia del circuito, a partir del valor de la fem eficaz. ¿Es suficiente para cargar el dispositivo?

Dato: $$$ \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \text{m}\cdot \text{A}^{-1}$$$

a) La ecuación para calcular el campo magnético en el eje de la bobina de implante es la de una espira circular, pero multiplicada por el número de espiras de la bobina. Si necesitas repasar cómo se obtiene esta ecuación, a partir de la ley de Biot-Savart, puedes hacerlo viendo este vídeo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf B = N_1\cdot \dfrac{\mu_0\cdot I\cdot R_1^2}{2(R_1^2 + z^2)^{3/2}}}$$$

Debes tener mucho cuidado con la unidades al sustituir en la ecuación, siendo lo ideal que expreses todos los datos en unidades SI. El campo magnético será máximo cuando lo sea la intensidad de la corriente, es decir, cuando I = 0.03 A:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 50\cdot \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{A}^{-1}}\cdot 0.03\ \cancel{\text{A}}\cdot (2.5\cdot 10^2)^2\ \cancel{\text{m}^2}}{2\big[(2.5\cdot 10^2)^2 + (1.5\cdot 10^2)^2\big]^{3/2}\ \cancel{\text{m}^3}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.38\cdot 10^{-5}\ T}}$$$

Debes hacer la conversión del resultado a la unidad de referencia de la norma, para poder hacer la comparación:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 2.38\cdot 10^{-5}\ \cancel{\text{T}}\cdot \dfrac{1\ \mu\ \text{T}}{10^{-6}\ \cancel{\text{T}}} = \color{royalblue}{\bf 23.8\ \mu\ T}$$$

Como el valor obtenido es menor que el límite que impone la norma ICNIRP, el dispositivo cumple con la normativa de seguridad para esa profundidad y corriente.

b) Según la ley de Faraday-Lenz, la fem inducida es la variación temporal del flujo magnético total. El flujo a través de las espiras del implante, si supones que el campo magnético es uniforme en su sección, ($$$ \text{S}_2 = \pi\cdot \text{R}_2^2$$$) es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = N_2\cdot B(t)\cdot S_2}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \Phi(\text{t}) = 400\cdot [2.38\cdot 10^{-5}\cdot \text{sen}(10^5\pi t)\ \text{T}]\cdot (\pi\cdot (8\cdot 10^{-3})^2)\ \text{m}^2 = \color{royalblue}{\bf 1.91\cdot 10^{-6}\cdot sen(10^5\pi t)\ Wb}$$$

Derivas la expresión anterior con respecto al tiempo para obtener la fem:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon(t) = - \dfrac{d\Phi}{dt}}} = - 1.91 \cdot 10^{-6}\cdot 10^5\pi\cdot \text{cos}\ (10^5\pi \text{t})\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = -0.6\cdot cos\ (10^5\pi t)\ V}}$$$

El voltaje obtenido es directamente proporcional al número de espiras del receptor. Si el implante tuviera una sola espira, la fem máxima sería de apenas $$$ 1.5\cdot 10^{-3}\ \text{V}$$$, un valor insuficiente para cargar cualquier batería.

c) La potencia media se define en función de la fem eficaz, por lo que antes debes calcularla:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{\varepsilon_{\text{máx}}}{\sqrt{2}}}} = \dfrac{0.60\ \text{V}}{\sqrt{2}} = \color{royalblue}{\bf 0.424\ V}$$$

La potencia media disipada en la resistencia interna es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{P{m} = \dfrac{\varepsilon_{ef}^2}{R_{int}}}} = \dfrac{0.424^2\ \text{V}^2}{25\ \Omega} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.2\cdot 10^{-3}\ W}}$$$

Puedes expresar el resultado obtenido como 7.2 mW, que es un valor mayor que los 5 mW requeridos por el dispositivo implantado, por lo que sí se cargará correctamente y con seguridad.

Tarea competencial: caracterización de un nuevo material cerámico (8628)

F_y_Q — 2026-04-27T06:22:32Z

En el departamento de I+D de una empresa de componentes electrónicos, se ha sintetizado un nuevo material cerámico de alta estabilidad térmica. Este compuesto está formado por dos elementos químicos etiquetados como «X» e «Y», cuyos números atómicos son 11 y 17, respectivamente. Tu misión como ingeniero de materiales es validar la naturaleza del enlace y determinar la estabilidad de su red cristalina mediante un análisis físico-químico completo.

Tipo de enlace y propiedades.

A partir de las configuraciones electrónicas de los elementos «X» e «Y» en su estado fundamental:

a) Justifica la fórmula empírica del compuesto resultante y el tipo de enlace que se establece.

b) Predice si este material será capaz de conducir la corriente eléctrica en condiciones estándar (sólido) y si lo hará tras ser sometido a un proceso de fusión. Justifica tu respuesta basándote en el modelo de enlace.

Estabilidad del compuesto y validación teórica.

Para comprobar la estabilidad del cristal, debes calcular cuál es su energía reticular.

c) Diseña el ciclo de Born-Haber para la formación del sólido cristalino a partir de sus elementos en estado estándar.

d) Calcula el valor de la energía reticular, expresada en $$$ \text{kJ}\cdot \text{mol}^{-1}$$$ utilizando los datos proporcionados.

e) Calcula el valor teórico de la energía reticular y compara el resultado obtenido con el valor experimental para razonar si el modelo iónico puro es una buena aproximación para el compuesto.

Estructura de la celda unidad y densidad.

A partir de la difracción de rayos X se sabe que el compuesto cristaliza en una red cúbica centrada en las caras, donde la distancia mínima entre los núcleos de un catión y un anión contiguos es la suma de sus radios iónicos.

f) Determina el índice de coordinación de ambos iones y dibuja un esquema sencillo de la celda unidad indicando la posición de los iones.

g) Calcula la arista de la celda unidad, expresada en picómetros.

h) Calcula la densidad teórica del cristal, expresada en $$$ \text{g}\cdot \text{cm}^{-3}$$$.

Datos:

Parámetros termodinámicos (en $$$ \text{kJ}\cdot \text{mol}^{-1}$$$):

$$$ \Delta \text{H}_\text{f}^o = -411$$$ ; $$$ \Delta \text{H}_{\text{sub}} = 107$$$ ; $$$ \text{EI(X)} = 496$$$ ; $$$ \Delta \text{H}_{\text{dis}}(\text{Y}_2) = 242$$$ ; $$$ \text{AE(Y)} = -348$$$

Parámetros de la red:

$$$ M = 1.7476$$$ ; $$$ n = 8$$$ ; $$$ \text{r}_{\text{X}^+} = 102\ \text{pm}$$$ ; $$$ \text{r}_{\text{Y}^-} = 181\ \text{pm}$$$

Masas atómicas y constantes:

$$$ \text{M}_\text{X} = 23.0\ \text{u}$$$ ; $$$ \text{M}_\text{Y} = 35.5\ \text{u}$$$ ; $$$ \text{q}_\text{e} = 1.602\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$ ; $$$ \varepsilon_0 = 8.854\cdot 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot \text{J}^{-1}\cdot \text{m}^{-1}$$$ ; $$$ \text{N}_\text{A} = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$

Tipo de enlace y propiedades.

a) A partir de los números atómicos de los elementos debes escribir sus configuraciones electrónicas y fijar la atención en el último nivel ocupado:

$$$ \text{X:}\ 1\text{s}^22\text{s}^22\text{p}^6 \color{royalblue}{\bf 3s^1}$$$
$$$ \text{Y:}\ 1\text{s}^22\text{s}^22\text{p}^6 \color{royalblue}{\bf 3s^23p^5}$$$

«X» tiene un electrón de valencia, por lo que tiende a perderlo para alcanzar la configuración de gas noble. Su estado de oxidación más probable es $$$ \color{forestgreen}{\bf X^+}$$$.
«Y» tiene siete electrones de valencia y tiende a ganar uno para completar el octeto. Su estado de oxidación más probable es $$$ \color{forestgreen}{\bf Y^-}$$$.

Dado que tienen electronegatividades muy distintas, es de esperar que el elemento «X» transfiera un electrón al elemento «Y», dando lugar al catión y anión correspondiente que, por medio de atracción electrostática, se atraerán y formarán una red cristalina iónica en una proporción 1:1, con lo que la fórmula empírica del compuesto será $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf XY}}$$$

b) Como los iones ocupan posiciones fijas en la red cristalina cuando su estado es sólido, el compuesto no conducirá la corriente eléctrica. Cuando se funda el compuesto, la red cristalina se deshace y los iones adquieren movilidad, pudiendo conducir la corriente eléctrica al poder transportar la carga eléctrica.

Estabilidad del compuesto y validación teórica.

c) El ciclo de Born-Haber puede ser como esta imagen:

d) A partir del esquema anterior, puedes despejar la energía reticular de la ecuación:

$$$ \Delta \text{H}_\text{f}^o = \Delta \text{H}_{\text{sub}} + EI + \dfrac{1}{2}\Delta \text{H}_{\text{dis}} + \text{AE} + \text{U}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf U = \Delta H_f^o - \Delta H_{sub} - EI - \dfrac{\Delta H_{dis}}{2} - AE}$$$

Como las unidades en las que están expresados los datos coinciden con la unidad en la que tienes que expresar el resultado puedes sustituir y calcular:

$$$ \text{U} = (-411 - 107 - 496 - \frac{242}{2} + 348)\ \text{kJ}\cdot \text{mol}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf -787\ kJ\cdot mol^{-1}}}$$$

e) El valor teórico lo obtienes por medio de la ecuación de Born-Landé, pero para poder aplicarla necesitas expresar la distancia entre los iones en metros porque el resto de los parámetros están dados en unidades SI:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{d_0 = r^+ + r^-}}\ \to\ \text{d}_0 = (102 + 181)\ \cancel{\text{pm}}\cdot \dfrac{10^{-12}\ \text{m}}{1\ \cancel{\text{pm}}} = \color{royalblue}{\bf 2.83\cdot 10^{-10}\ m}$$$

Aplicas la fórmula de Born-Landé:

$$$ \require{cancel}\color{forestgreen}{\bf U = - \dfrac{N_A\cdot M\cdot z^+ \cdot z^- \cdot e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot d_0}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \text{U} = - \dfrac{6.022 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}\cdot 1.7476\cdot (1.602 \cdot 10^{-19})^2\ \cancel{\text{C}^2}}{4\cdot \pi\cdot 8.854 \cdot 10^{-12}\ \cancel{\text{C}^2}\cdot \text{J}^{-1}\cdot \cancel{\text{m}^{-1}}\cdot 2.83\cdot 10^{-10}\ \cancel{\text{m}^{-1}}} \left(1 - \dfrac{1}{8}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf -750\ kJ\cdot mol^{-1}}}$$$

El valor teórico obtenido es menor que el valor experimental, aunque la diferencia es pequeña (apenas del 4.7 %). Esto quiere decir que el modelo iónico puro es una excelente aproximación para este compuesto, aunque existe una mínima contribución de carácter covalente o fuerzas de Van der Waals no contempladas en el modelo electrostático simple.

Estructura de la celda unidad y densidad.

f) Al ser una estructura cúbica centrada en las caras, y tener como fórmula empírica XY, es un compuesto iónico tipo «NaCl». Cada catión $$$ \text{X}^+$$$ está rodeado por seis aniones $$$ \text{Y}^-$$$ y viceversa. Eso quiere decir que el índice de coordinación es 6:6. El esquema puede ser:

g) En la estructura descrita, la arista contiene dos radios aniónicos y dos catiónicos o, lo que es lo mismo, dos veces la distancia interiónica, :

$$$ \color{forestgreen}{\bf{a = 2\cdot d_0}} = 2\cdot 283\ \text{pm} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 566\ pm}}$$$

h) En las celdas unidades de los cristales cúbicos centrados hay 4 unidades de fórmula (Z = 4). La densidad teórica del cristal es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \rho = \dfrac{Z\cdot M_{molar}}{N_A\cdot a^3}}$$$

Los valores de la masa molar y del volumen de la celda son:

$$$ \text{M}_{\text{molar}} = 23.0 + 35.5 = \color{royalblue}{\bf 58.5\ g\cdot mol^{-1}}$$$
$$$ \text{V}_{\text{celda}} = \text{a}^3 = (5.66\cdot 10^{-8}\ \text{cm})^3 = \color{royalblue}{\bf 1.814\cdot 10^{-22}\ cm^3}$$$

Sustituyes los valores y calculas la densidad teórica del cristal:

$$$ \require{cancel} \rho = \dfrac{4\cdot 58.5\ \text{g}\cdot \cancel{\text{mol}^{-1}}}{6.022\cdot 10^{23}\ \cancel{\text{mol}^{-1}}\cdot 1.814\cdot 10^{-22}\ \text{cm}^3} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.14\ g\cdot cm^{-3}}}$$$

Ejercicio competencial sobre energía y trabajo (8611)

F_y_Q — 2026-02-22T07:14:46Z

El Parque de las Ciencias de Granada está diseñando una nueva atracción interactiva para explicar los principios de la energía mecánica. Como asesores científicos jóvenes, debéis analizar el prototipo propuesto y verificar si cumple los requisitos de seguridad y los principios físicos.

El prototipo consiste en un pequeño vehículo de prueba, con una masa de 250 kg, que se desliza sin motor por un raíl. El recorrido consta de varias fases que debes analizar:

Primera fase: El vehículo se libera desde el reposo en un punto «A», situado a 20 m de altura sobre el nivel de referencia (suelo). El tramo «AB» es una rampa sin rozamiento que termina en el punto «B», situado a 5 m de altura.
a) Calcula la energía mecánica del vehículo en el punto «A».
b) Determina la velocidad que tendrá el vehículo al llegar al punto «B», aplicando el principio de conservación de la energía mecánica.

Segunda fase (rizo): Desde el punto «B», el vehículo entra en un rizo vertical de 8 m de diámetro. Considera que este tramo también carece de rozamiento.
a) Calcula la velocidad del vehículo en el punto más alto del rizo, punto «C».
b) Si la velocidad mínima para completar el rizo sin caerse debe ser superior a 6 m/s en el punto «C», ¿supera el vehículo esta prueba? Justifica tu respuesta.

Tercera fase: Al salir del rizo, el vehículo llega al punto «D», que está a 3 m de altura, con una velocidad de 18 m/s. A partir de «D», el raíl se vuelve horizontal y aparece un sistema de frenado que ejerce una fuerza de rozamiento constante de 500 N sobre una distancia de 40 m hasta detener el vehículo en el punto «E».
a) ¿Se conserva la energía mecánica en el tramo D-E? Razona tu respuesta.
b) Calcula el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en este tramo.
c) Aplicando el teorema de las fuerzas vivas (trabajo-energía cinética) o la variación de energía mecánica, verifica si el vehículo se detiene justo al final del tramo de frenado.

Dato: $$$ \text{g} =9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$$$.

Lo primero que debes hacer es dibujar un esquema de la situación que describe el enunciado porque te servirá para tener claros los datos y cómo interpretarlos. Un esquema completo podría ser el de la imagen

Primera Fase.

a) Como el vehículo parte del reposo su velocidad inicial es nula. Eso significa que su energía cinética es cero y que su energía mecánica es la misma que la energía potencial gravitatoria del vehículo.

$$$ \require{cancel} \text{E}_\text{M}(\text{A}) = \text{E}_\text{C}(\text{A}) + \text{E}_\text{P}(\text{A}) = \dfrac{\text{m}}{2}\cancelto{0}{\text{v}_\text{A}^2} + \text{mgh}_\text{A}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf E_M(A) = m\cdot g\cdot h_A}$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \text{E}_\text{M}(\text{A}) = 250\ \text{kg}\cdot 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\cdot 20\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.9\cdot 10^4\ J}}$$$

b) En el tramo «A-B» no hay rozamiento y eso implica que la energía mecánica se conserva. En el punto «B» la energía mecánica tendrá dos componentes: la cinética y la potencial gravitatoria, dado que tiene una velocidad distinta de cero y está situado a una altura de 5 m con respecto al suelo. Si despejas la energía cinética del vehículo obtienes la ecuación:

$$$ \text{E}_\text{M}(\text{A}) = \text{E}_\text{C}(\text{B}) + \text{E}_\text{P}(\text{B})\ \to\ \color{forestgreen}{\bf E_C(B) = E_M(A) - E_P(B)}$$$

Puedes seguir trabajando con la ecuación y escribir cada energía en función de los datos:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\cancel{\text{m}}}{2}\cdot \text{v}_\text{B}^2 = \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{h}_\text{A} - \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{h}_\text{B}\ \to\ \dfrac{1}{2} \text{v}_\text{B}^2 = \text{g}(\text{h}_\text{A} - \text{h}_\text{B}) \quad \Rightarrow \quad \color{forestgreen}{\bf v_B = \sqrt{2g (h_A - h_B)}}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \text{v}_\text{B} = \sqrt{2\cdot 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\cdot (20 - 5)\ \text{m}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 17.2\ m\cdot s^{-1}}}$$$

Segunda fase.

a) El rizo tiene un diámetro de 8 m. Si consideras que el punto «B» es el punto más bajo del rizo, la altura del punto «C» será:

$$$ \text{h}_\text{C} = (5 + 8)\ \text{m} = \color{royalblue}{\bf 13\ m}$$$

Al no haber rozamiento, la energía mecánica en «C» será la misma que la energía mecánica en «B». Como el vehículo aumenta su altura, es decir, su energía potencial gravitatoria, es de esperar que disminuya su energía cinética, por lo tanto, su velocidad. Aplicas otra vez el teorema de la conservación de la energía mecánica:

$$$ \require{cancel} \text{E}_\text{M}(B) = \text{E}_\text{M}(C)\ \to\ \dfrac{\cancel{\text{m}}}{2}\cdot \text{v}_\text{B}^2 + \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{h}_\text{B} = \dfrac{\cancel{\text{m}}}{2}\cdot \text{v}_\text{C}^2 + \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{h}_\text{C}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_C = \sqrt{v_B^2 + 2g (h_B - h_C)}}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ v_C = \sqrt{17.2^2\ \text{m}^2\cdot \text{s}^{-2} + 2\cdot 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\cdot (5 - 13)\ \text{m}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 11.8\ m\cdot s^{-1}}}$$$

b) El enunciado indica que la velocidad en «C» debe ser superior a $$$ 6\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$$$. El valor que has obtenido ($$$ 11.8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$$$) es claramente superior al valor seguro, por lo que el vehículo supera la prueba con seguridad.

Tercera fase.

a) En este tramo «D-E» sí que actúa una fuerza de rozamiento, que es una fuerza no conservativa. La energía mecánica no se conserva porque parte de ella se transforma en calor debido al trabajo de rozamiento. En este caso, la variación de energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas.

b) La fuerza de rozamiento es constante y siempre se opone al desplazamiento. La expresión para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante es:

$$$ \text{W}_{\mathrm{roz}} = \vec{\text{F}}_{\mathrm{roz}} \cdot \Delta \vec{\text{x}} = \text{F}\cdot \Delta \text{x}\cdot \text{cos}\ 180^o\ \to\ \color{forestgreen}{\bf W_{roz} = - F_{\mathrm{roz}} \cdot \Delta x}$$$

Solo tienes que sustituir los datos y calcular:

$$$ \text{W}_{\mathrm{roz}} = -500\ \mathrm{N}\cdot 40\ \mathrm{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf -20\ 000\ J}}$$$

c) El teorema de las fuerzas vivas indica que el trabajo de las fuerzas no conservativas tiene que ser igual a la variación de la energía cinética. Es una simplificación del teorema de la conservación de la energía que puedes hacer cuando no varía la altura del sistema entre los puntos considerados:

$$$ \text{W}_{\mathrm{total}} = \Delta \text{E}_{\mathrm{c}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf W_{total} = E_C(E) - E_C(D)}$$$

En este caso, la única fuerza no conservativa es el rozamiento porque el peso y la normal, que están presentes, ser perpendiculares al desplazamiento horizontal y su trabajo es nulo. Escribes las energía en función de la velocidad y despejas el valor de la velocidad en «E»:

$$$ \text{W}_{\mathrm{roz}} = \dfrac{\text{m}}{2}\text{v}_\text{E}^2 - \dfrac{\text{m}}{2}\text{v}_\text{D}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_E = \sqrt{v_D^2 + \dfrac{2 W_{\mathrm{roz}}}{m}}}$$$

Lo último que tienes que hacer es sustituir en la ecuación y calcular:

$$$ \text{v}_\text{E} = \sqrt{18^2\ \text{m}^2\cdot \text{s}^{-2} - \dfrac{2\cdot 2\cdot 10^4\ \text{J}}{250\ \text{kg}}} = \color{royalblue}{\bf 12.8\ m\cdot s^{-1}}$$$

Este resultado indica que al final del tramo de frenado el vehículo todavía posee una velocidad de $$$ 12.8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$$$, por lo que no se detiene en los 40 m.

La distancia necesaria para que el vehículo se detenga la puedes calcular si impones que el trabajo de rozamiento sea igual a la energía cinética del vehículo en «D»:

$$$ \text{W}_{\text{roz}} = \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{D}^2\ \to\ \text{F}_{\text{roz}}\cdot \text{d} = \dfrac{\text{m}\cdot \text{v}_\text{D}^2}{2}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \text{d}_{\text{necesaria}} = \dfrac{m\cdot v_D^2}{2F_{roz}}}$$$

Conoces todos los datos y puedes hacer el cálculo:

$$$ \text{d} = \dfrac{250\ \text{kg}\cdot 18^2\ \text{m}^2\cdot \text{s}^{-2}}{2\cdot 500\ \text{N}} = \color{royalblue}{\bf 81\ m}$$$

Por tanto, con un valor de la fuerza de rozamiento de 500 N, el vehículo necesitaría 81 m para detenerse. Esto significa que el diseño del frenado no es suficiente; se requeriría una fuerza mayor o una distancia más larga.

Problema competencial sobre reciclaje de baterías alcalinas (8600)

F_y_Q — 2026-02-12T05:37:37Z

En el contexto de la economía circular y la sostenibilidad, una empresa de reciclaje está desarrollando un proceso para recuperar cobre y cinc de baterías alcalinas agotadas, aprovechando estos metales para construir una pila de aluminio-aire como alternativa ecológica a las baterías tradicionales.

Los siguientes potenciales estándar de reducción a considerar son:

Par redox	$$$E^\circ\ (\text{V})$$$
$$$\text{Al}^{3+}/\text{Al}$$$	−1.66
$$$\text{Zn}^{2+}/\text{Zn}$$$	−0.76
$$$\text{Fe}^{2+}/\text{Fe}$$$	−0.44
$$$\text{Cu}^{2+}/\text{Cu}$$$	+0.34
$$$\text{O}_2/\text{OH}^- , (\text{en medio básico})$$$	+0.40

Apartado a)

En el proceso de recuperación, se tiene una disolución que contiene iones $$$\text{Cu}^{2+}$$$ 1 M e iones $$$\text{Fe}^{2+}$$$ 1 M. Se dispone de láminas de cinc y aluminio para seleccionar el metal reductor más adecuado.

a.1) Justifica qué metal (cinc o aluminio) es más adecuado utilizar para recuperar cobre metálico por reducción selectiva, sin que se reduzca el hierro presente en la disolución. Escribe las semirreacciones que tendrían lugar en el ánodo y en el cátodo, y calcula la fuerza electromotriz de la pila formada.

a.2) Si en lugar de usar la disolución anterior se construye una pila de aluminio-aire donde el aluminio se oxida y el oxígeno del aire se reduce en medio básico según la semirreacción: $$$\text{O}_2 + 2\text{H}_2\text{O} + 4e^- \rightarrow 4\text{OH}^-$$$, calcula el potencial estándar de esta pila y justifica por qué es una fuente de energía prometedora para vehículos eléctricos.

Apartado b)

Se necesita determinar si una muestra de cobre metálico contiene impurezas de cinc para verificar su pureza. Se sumerge la muestra en una disolución de ácido clorhídrico 1 M.

b.1) Razona, utilizando los potenciales de reducción, si el cobre puro se disolverá en HCl. Escribe las semirreacciones ajustadas por el método del ion-electrón si la reacción es espontánea, o justifica por qué no lo es.

b.2) Si la muestra contiene impurezas de cinc, ¿qué observación experimental permitiría detectarlas? Justifica la respuesta con la correspondiente reacción química ajustada.

Apartado c)

Una vez recuperado el cobre metálico, se utiliza como cátodo en una celda electrolítica para recubrir con una capa de cobre de 0.05 mm de espesor un objeto de hierro con superficie total de 200 $$$\text{cm}^2$$$. La densidad del cobre es $$$8.96\ \text{g/cm}^3$$$.

c.1) Calcula la masa de cobre que debe depositarse sobre el objeto.

c.2) Determina el tiempo necesario para realizar este recubrimiento si se aplica una corriente constante de 3.50 A.

Datos: Masa atómica relativa: Cu = 63.5; Al = 27.0; Zn = 65.4; Fe = 55.8. Constante de Faraday: $$$\text{F} = 96\ 485\ \text{C} \cdot \text{mol}^{-1}$$$.

Apartado a)

a.1) Para recuperar el cobre de la disolución, sin reducir el hierro, necesitas un reductor que sea capaz de reducir el $$$\text{Cu}^{2+}$$$, pero no el $$$\text{Fe}^{2+}$$$. Debes analizar las dos posibilidades:

Con aluminio:

Reducción: $$$\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu} \quad \text{E}^\circ = +0.34\ \text{V}$$$
Oxidación: $$$\text{Al} \rightarrow \text{Al}^{3+} + 3e^- \quad \text{E}^\circ_{\text{ox}} = +1.66\ \text{V}$$$

Para igualar electrones donados y aceptados, multiplicas la primera por 3 y la segunda por 2:

Reducción: $$$ \color{forestgreen}{\bf 3\text{Cu}^{2+} + 6e^- \rightarrow 3\text{Cu}}$$$
Oxidación: $$$ \color{forestgreen}{\bf 2\text{Al} \rightarrow 2\text{Al}^{3+} + 6e^-}$$$

El potencial de la pila es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{E}^\circ_{\text{pila}} = \text{E}^\circ_{\text{cátodo}} - \text{E}^\circ_{\text{ánodo}}}} = 0.34 - (-1.66) = \color{royalblue}{\bf +2.00\ \text{V}}$$$

Debes analizar si el aluminio también podría reducir el $$$\text{Fe}^{2+}$$$:

$$$\text{E}^\circ = -0.44 - (-1.66) = \color{royalblue}{\bf +1.22\ \text{V}}$$$

Como puedes ver, también es un proceso espontáneo.

Con cinc:

Reducción: $$$ \color{forestgreen}{\bf \text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu} \quad \text{E}^\circ = +0.34\ \text{V}}$$$
Oxidación: $$$ \color{forestgreen}{\bf \text{Zn} \rightarrow \text{Zn}^{2+} + 2e^- \quad \text{E}^\circ_{\text{ox}} = +0.76\ \text{V}}$$$

El potencial de esta pila es:

$$$ \text{E}^\circ_{\text{pila}} = 0.34 - (-0.76) = \color{royalblue}{\bf +1.10\ \text{V}}$$$

Analizas si el cinc reduce al $$$\text{Fe}^{2+}$$$:

$$$ \text{E}^\circ = -0.44 - (-0.76) = \color{royalblue}{\bf +0.32\ \text{V}}$$$

Aunque ambos procesos son espontáneos, la diferencia de potencial para reducir al $$$\text{Cu}^{2+}$$$ es significativamente mayor que para reducir al $$$\text{Fe}^{2+}$$$. Esto quiere decir que, en condiciones cinéticas controladas, el cinc permite una reducción selectiva preferente del cobre antes que del hierro, siendo más adecuado que el aluminio porque reduciría ambos con alta espontaneidad. Escribes ahora las semirreacciones para la pila (Zn-Cu):

Cátodo (reducción): $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}}}$$$
Ánodo (oxidación): $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \text{Zn} \rightarrow \text{Zn}^{2+} + 2e^-}}$$$

El potencial de esta pila es el mismo que habías calculado anteriormente:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf E^\circ_{\text{pila}} = +1.10\ \text{V}}}$$$

a.2) En la pila de aluminio-aire el aluminio se oxida y el oxígeno se reduce. Las semirreacciones que tienen lugar son:

Ánodo (oxidación): $$$ \text{Al} \rightarrow \text{Al}^{3+} + 3e^- \quad \text{E}^\circ_{\text{ox}} = +1.66\ \text{V}$$$
Cátodo (reducción): $$$ \text{O}_2 + 2\text{H}_2\text{O} + 4e^- \rightarrow 4\text{OH}^- \quad \text{E}^\circ = +0.40\ \text{V}$$$

Tienes que igualar los electrones que son cedidos y aceptados, multiplicando por 3 y por 4 en cada caso:

Multiplicas por 4 la oxidación: $$$ \color{forestgreen}{\bf 4\text{Al} \rightarrow 4\text{Al}^{3+} + 12e^-}$$$
Multiplicas por 3 la reducción: $$$ \color{forestgreen}{\bf 3\text{O}_2 + 6\text{H}_2\text{O} + 12e^- \rightarrow 12\text{OH}^-}$$$

La reacción global del proceso es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf 4\text{Al} + 3\text{O}_2 + 6\text{H}_2\text{O} \rightarrow 4\text{Al(OH)}_3}$$$

El potencial estándar de esta pila es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{E^\circ_{\text{pila}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ánodo}}}} = 0.40 - (-1.66) = \color{firebrick}{\boxed{\bf +2.06\ \text{V}}}$$$

El potencial de esta pila es muy alto, superior al de muchas baterías comerciales. Además, como el aluminio es muy ligero, puede tener una alta densidad energética. Es un elemento muy abundante en La Tierra y el oxígeno es gratuito e inagotable, por lo que se trata de un dispositivo sostenible y más seguro ecológico que otros dispositivos actuales porque no contiene metales pesados que son tóxicos.

Apartado b)

b.1) Para que el cobre se disuelva en ácido clorhídrico, debe oxidarse por el ion $$$ \text{H}^+$$$:

Reducción: $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf 2\text{H}^+ + 2e^- \rightarrow \text{H}_2 \quad \text{E}^\circ = 0.00\ \text{V}}}$$$
Oxidación: $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \text{Cu} \rightarrow \text{Cu}^{2+} + 2e^- \quad \text{E}^\circ_{\text{ox}} = -0.34\ \text{V}}}$$$

El potencial asociado a esta reacción es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{E^\circ_{\text{reacción}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ánodo}}}} = 0.00 - 0.34 = \color{firebrick}{\boxed{\bf -0.34\ \text{V}}}$$$

Como el valor es negativo puedes asegurar que la reacción no es espontánea en condiciones estándar. El cobre metálico puro no se disuelve en HCl 1 M porque su potencial de reducción es mayor que el del hidrógeno.

b.2) Si la muestra contiene cinc, la fracción de este metal sí que se disolverá en HCl porque el potencial para la reacción del cinc con el hidrógeno es:

$$$ \text{E}^\circ = 0.00 - (-0.76) = \color{royalblue}{\bf +0.76\ \text{V}}$$$

Como puedes ver, es un valor positivo y eso implica que el proceso es espontáneo. Por lo tanto, observarás desprendimiento de burbujas de hidrógeno en las zonas donde hay impurezas de cinc. Las semirreacciones que ocurren en medio ácido son:

Oxidación (ánodo): $$$ \color{forestgreen}{\bf \text{Zn} \rightarrow \text{Zn}^{2+} + 2e^-}$$$
Reducción (cátodo): $$$ \color{forestgreen}{\bf 2\text{H}^+ + 2e^- \rightarrow \text{H}_2}$$$

La reacción iónica global es la suma de las dos semirreacciones:

$$$ \text{Zn} + 2\text{H}^+ \rightarrow \text{Zn}^{2+} + \text{H}_2$$$

Si tienes en cuenta las especies que indica el enunciado, la reacción molecular es:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \text{Zn} + 2\text{HCl} \rightarrow \text{ZnCl}_2 + \text{H}_2}}$$$

Apartado c)

c.1) Lo primero que debes hacer es calcular el volumen de cobre necesario para cubrir el objeto de hierro con el espesor que indica el enunciado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \text{V} = \text{superficie}\cdot \text{espesor}} = 200\ \text{cm}^2\cdot 0.005\ \text{cm} = \color{royalblue}{\bf 1.0\ \text{cm}^3}$$$

Por medio de la densidad del cobre obtienes la masa de cobre que representa ese volumen:

$$$ \require{cancel} \rho = \dfrac{\text{m}}{\text{V}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{m = \rho\cdot V}} = 8.96\ \dfrac{\text{g}}{\cancel{\text{cm}^3}}\cdot 1.0\ \cancel{\text{cm}^3} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 8.96\ g\ de\ Cu}}$$$

c.2) Lo primero que haces es calcular los moles de cobre que se corresponden con la masa calculada:

$$$ \require{cancel} \text{n}(\text{Cu}) = \dfrac{8.96\ \cancel{\text{g}}}{63.5\ \cancel{\text{g}}\cdot \text{mol}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 0.141\ mol}$$$

A partir de la primera ley de Faraday puedes obtener una ecuación que te permita calcular el tiempo:

$$$ \text{m} = \dfrac{\text{M}\cdot \text{I}\cdot \text{t}}{e\cdot \text{F}}\ \to\ \text{t} = \dfrac{\text{m}\cdot e\cdot \text{F}}{\text{M}\cdot \text{I}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t = \dfrac{n\cdot e\cdot F}{I}}$$$

La semirreacción de reducción en el cátodo implica a dos electrones, como puedes ver: $$$ \text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}$$$

Sustituyes los datos en la ecuación y obtienes el tiempo necesario:

$$$ \require{cancel} \text{t} = \dfrac{0.141\ \cancel{\text{mol}}\cdot 2\cdot 96\ 485\ \cancel{\text{C}}\cdot \cancel{\text{mol}^{-1}}}{3.50\ \cancel{\text{C}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7\ 774\ s}}$$$

Ejercicio competencial: estudio analítico de un aerogenerador doméstico (8583)

F_y_Q — 2025-12-21T04:57:26Z

Un prototipo de aerogenerador para uso doméstico consta de una bobina plana de 200 espiras cuadradas de lado «a = 5 cm». La bobina gira con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme «B» generado por imanes permanentes. Una de las técnicas del equipo conecta un sistema de adquisición de datos y obtiene la siguiente gráfica del flujo magnético, $$$ \Phi$$$, que atraviesa la bobina en función del tiempo:

a) A partir de la información de la gráfica: i) determina el valor del campo magnético si el plano de la bobina es perpendicular a las líneas de campo cuando «t = 0», ii) calcula la frecuencia de giro del aerogenerador, expresada en hercios y iii) escribe la ecuación del flujo magnético en función del tiempo.

b) Representa esquemáticamente cómo sería la gráfica de la «fem» inducida en el mismo intervalo de tiempo de la gráfica dada y justifica razonadamente, basándote en la ley de Faraday, por qué los máximos de la «fem» coinciden con los momentos en que el flujo es cero.

c) Si las condiciones de viento provocasen que la velocidad de giro se duplicase: i) ¿cómo afectaría este cambio al valor máximo de la «fem» inducida? ii) ¿Qué ocurriría con el periodo de la señal? iii) Justifica si este aumento de velocidad mejora o empeora la eficiencia del dispositivo para cargar una batería.

a) Dado que la bobina tiene 200 espiras, el flujo magnético es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = N\cdot B\cdot S\cdot cos\ (\omega\cdot t)}\ \ (\text{Ec}.\ 1)$$$

i) El valor de flujo máximo se corresponde con la ecuación anterior, para un valor del coseno de la unidad, por lo que el flujo máximo es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi_{max} = N\cdot B\cdot S}$$$

Despejas el valor del campo, sustituyes y calculas. El valor del flujo máximo lo extraes de la gráfica dada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{B = \dfrac{\Phi_{max}}{N\cdot S}}}\ \to\ \text{B} = \dfrac{0.01\ \text{Wb}}{200\cdot 0.05^2\ \text{m}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.02\ T}}$$$

ii) A partir de la gráfica puedes ver que el periodo es 0.2 s. La frecuencia es la inversa del periodo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{f = \dfrac{1}{T}}}\ \to\ f = \dfrac{1}{0.2\ \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5\ Hz}}$$$

iii) Para escribir la ecuación del flujo magnético necesitas conocer el valor de la velocidad de giro de la bobina:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\omega = 2\pi\cdot f}}\ \to\ \omega = 2\pi\cdot 5\ \text{s}^{-1} = \color{royalblue}{\bf 10\pi\ rad\cdot s^{-1}}$$$

La ecuación del flujo magnético, en función de todos los parámetros calculados y obtenidos de la gráfica es:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = 0.01\cdot cos\ (10\pi\cdot t)\ (Wb)}}$$$

b) La ley de Faraday explica que la «fem» inducida depende de la variación de flujo, según la expresión:

$$$ \varepsilon = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}}\ \to\ \varepsilon = 0.01\cdot 10\pi\cdot \text{sen}\ (10\pi\cdot \text{t})\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = 0.1\pi\cdot sen\ (10\pi\cdot t)}$$$

La clave para hacer la representación está en comprender que para «t = 0» el flujo es máximo y la «fem» será, por lo tanto, nula. De manera análoga, para «t = 0.05 s» el flujo es nulo, pero la pendiente de la función es máxima, con valor negativo, por lo que se corresponde con el valor máximo de la «fem». La gráfica pedida es:

c) Si escribes la ecuación de la «fem» en función de la (Ec. 1) puedes ver la relación de esta con el valor de la velocidad de giro:

$$$ \varepsilon = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}} = -\dfrac{\text{N}\cdot \text{B}\cdot \text{S}\cdot \text{cos}\ (\omega\cdot \text{t})}{\text{dt}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = N\cdot B\cdot S\cdot \omega\cdot sen\ (\omega\cdot t)}$$$

i) El valor máximo de la «fem» coincide con:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon_{\text{máx}} = N\cdot B\cdot S\cdot \omega}}$$$

Como puedes ver, si se duplica el valor de la velocidad de giro se duplica también el valor de la «fem» máxima.

ii) La relación entre el periodo y la velocidad de giro es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf T = \dfrac{2\pi}{\omega}}$$$

Si se duplica la velocidad de giro se reduce a la mitad el periodo.

iii) El aumento de la velocidad de giro provocaría un aumento de la energía del sistema, que depende del valor de la «fem» al cuadrado, además de hacer que los ciclos de carga se reduzcan a la mitad, por lo que habría el doble de ciclos de carga para un mismo tiempo. En conclusión, el aumento de la velocidad de giro mejoraría la eficiencia del dispositivo.

Problema competencial: diseño de un freno de emergencia electromagnético para un camión (8582)

F_y_Q — 2025-12-18T16:29:48Z

Un equipo de ingeniería está diseñando un sistema de frenado regenerativo por inducción para evitar el sobrecalentamiento de los frenos de disco mecánicos en descensos prolongados. El sistema consta de dos partes:

1. Un generador de emergencia para alimentar los sensores que está formado por una espira cuadrada, de lado «a = 10 cm», que gira en un campo magnético uniforme de «B = 0.5 T» y orientado según el eje Z positivo. La espira gira alrededor del eje X, con una velocidad angular constante e igual a $$$ \omega = 100\pi\ \text{rad}\cdot \text{s}^{-1}$$$. La espira es perpendicular al campo magnético para el instante «t = 0 s».

2. Un disco conductor que, al activar el freno, atraviesa el campo magnético para reducir la velocidad sin contacto físico, es decir, actuando como un freno electromagnético.

Considerando una sección radial del disco como una varilla conductora de longitud «L = 20 cm» que gira a la misma velocidad angular que el generador:

a) Obtén la expresión matemática del flujo magnético en función del tiempo, $$$ \Phi(t)$$$, a través de la espira y calcula el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en dicha espira.

b) Explica, basándote en las leyes de la inducción, por qué la conductividad eléctrica del material del disco es crucial para la seguridad del camión. ¿Qué ocurriría si el disco se fabricara con un material aislante? Justifica tu respuesta relacionando los conceptos de corrientes inducidas y fuerzas magnéticas.

c) Calcula la diferencia de potencial que se genera entre el centro y el extremo del disco.

a) El flujo magnético se define según la expresión:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos\ \theta}$$$

La superficie de la espira es:

$$$ \text{S} = \text{a}^2 = 0.1^2\ \text{m}^2 = \color{royalblue}{\bf 0.01\ m^2}$$$

Como para «t = 0» el plano de la espira es perpendicular a $$$ \vec{B}$$$, el ángulo inicial entre el vector superficie y el campo es cero. Como gira con velocidad angular constante, el ángulo varía con el tiempo de la forma:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \theta = \omega \cdot t}$$$

La ecuación del flujo magnético, en función del tiempo, es:

$$$ \Phi(\text{t}) = 0.5 \cdot 0.01 \cdot \text{cos}\ (100\pi\cdot \text{t})\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = 5 \cdot 10^{-3} cos\ (100\pi\cdot t)\ Wb}}$$$

Según la Ley de Faraday, la «fem» depende de la variación del flujo y su ecuación es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = -\dfrac{\Phi}{dt}}$$$

Si sustituyes el valor del flujo que has obtenido antes, la «fem» es:

$$$ \varepsilon(\text{t}) = - (5\cdot 10^{-3})\cdot (-100\pi)\cdot \text{sen}\ (100\pi\cdot t) = \color{royalblue}{\bf 0.5\pi\ sen\ (100\pi\cdot t)\ V}$$$

El valor de la «fem» será máximo cuando la función trigonométrica sea uno, es decir:

$$$ \varepsilon_{\text{máx}} = 0.5\pi\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon_{\text{máx}} = 1.57\ V}}$$$

b) Para que el camión frene, es necesaria una fuerza que se oponga al movimiento. El movimiento del disco en el campo magnético induce corrientes circulares en su interior, corrientes de Foucault, según la ley de Faraday-Lenz. El campo magnético ejerce una fuerza sobre estas corrientes inducidas que se opone opone al movimiento del disco, lo que genera un par de fuerzas que consigue frenar el camión. La fuera del campo magnético la puedes calcular a partir de la ecuación de Lorentz:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{F} = q(\vec{v}\times \vec{B}})$$$

Si el disco estuviera hecho de un material aislante no habría movimiento de cargas libres, por lo que no habría corriente inducida y la fuerza magnética de frenado sería cero. En ese caso, el sistema sería totalmente inútil para la seguridad del vehículo. Que el material del disco tenga una alta conductividad es esencial para permitir corrientes inducidas intensas, dando lugar entonces a fuerzas de frenado potentes.

c) La diferencia de potencial en el disco la puedes calcular a partir de la ecuación de la «fem» para un conductor lineal que rota:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = \int_0^L (\vec{v}\times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = \int_0^L (\omega\cdot r\cdot B)\ dr = \dfrac{1}{2} B\cdot \omega\cdot L^2}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \varepsilon = \dfrac{1}{2} \cdot 0.5\ \text{T}\cdot 100\pi\ \text{s}^{-1}\cdot 0.2^2\ \text{m}^2\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon = \pi\ V}}$$$