EjerciciosFyQ

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión b2 (8644)

F_y_Q — 2026-06-08T04:00:18Z

Un electrón se lanza desde el infinito con una velocidad inicial de $$$ 10^7\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$ hacia una carga puntual de $$$ -5\ \mu \text{C}$$$ que permanece fija. i) Determina la distancia a la carga puntual en la que se anula la velocidad del electrón. ii) Calcula el módulo y carácter (atractiva o repulsiva) de la fuerza a esa distancia.

Datos: $$$ \text{K} = 9\cdot 10^9\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2}$$$; $$$ \text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$; $$$ \text{m}_\text{e} = 9.1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$$$

i) Como el campo eléctrico es conservativo puedes aplicar el principio de conservación de la energía mecánica:

$$$ \text{E}_\text{M}(i) = \text{E}_\text{M}(f)\ \to\ \color{forestgreen}{\bf E_c(i) + E_p(i) = E_c(f) + E_p(f)}$$$

En el estado inicial, la energía potencial electrostática es nula porque consideramos que la carga está en el infinito, mientras que la energía cinética es función de la velocidad inicial. En el estado final tiene que ser nula la energía cinética, porque le pones la condición de que se detenga la partícula, y la energía potencial será función de la distancia a la que suceda esa condición. La ecuación anterior queda como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \dfrac{m_e}{2}\cdot v_i^2 = K\cdot \dfrac{q\cdot e}{d_f}}$$$

Despejas la distancia final y calculas su valor:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{d_f = \dfrac{2\cdot K\cdot q\cdot e}{m_e\cdot v_i^2}}} = \dfrac{2\cdot 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\cdot (-5\cdot 10^{-6})\ \cancel{\text{C}}\cdot (-1.6\cdot 10^{-19})\ \cancel{\text{C}}}{9.1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}\cdot (10^7)^2\ \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{s}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 158.2\ m}}$$$

ii) Para calcular la fuerza electrostática a la distancia anterior, aplicas la ley de Coulomb. Al ser cargas del mismo signo, el valor de la fuerza será positivo, es decir, será una fuerza de repulsión cuyo módulo es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{F = K\cdot \dfrac{q\cdot e}{d_f^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\cdot \dfrac{5\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{C}}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{C}}}{158.2^2 \ \cancel{\text{m}^2}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.88\cdot 10^{-19}\ N}}$$$

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión b1 (8643)

F_y_Q — 2026-06-07T04:34:23Z

En un parque eólico del estrecho de Gibraltar, un aerogenerador posee una espira circular de área $$$ 40\ \text{cm}^2$$$ que gira a 1 500 rpm alrededor de un eje que pasa por su diámetro y es perpendicular a un campo magnético uniforme de módulo 0.25 T. La espira tiene una resistencia de 10 Ω. Considere que en t = 0 s el flujo es máximo. i) Determina el flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcula la fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducida en la espira en función del tiempo. ¿La corriente en la espira es continua o alterna?

Una buena manera de empezar el problema es extrayendo los datos del enunciado, ordenándolos y expresándolos en unidades SI:

- Área de la espira:
$$$ \require{cancel} 40\ \cancel{\text{cm}^2}\cdot \dfrac{1\ \text{m}^2}{10^4\ \cancel{\text{cm}^2}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf A = 4\cdot 10^{-3}\ m^2}$$$
- Velocidad de rotación:
$$$ \require{cancel} 1\ 500\ \dfrac{\cancel{\text{rev}}}{\cancel{\text{min}}}\cdot \dfrac{2\pi\ \text{rad}}{1\ \cancel{\text{rev}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{min}}}{60\ \text{s}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \omega = 50\pi\ rad\cdot s^{-1}}$$$
- Campo magnético: $$$ \color{royalblue}{\bf B = 0.25\ T}$$$
- Resistencia de la espira: $$$ \color{royalblue}{\bf R = 10\ \Omega}$$$

i) El flujo magnético que atraviesa una espira que gira en un campo magnético uniforme es:

$$$ \Phi(\text{t}) = \text{B}\cdot \text{A}\cdot \text{cos}\ (\omega\cdot \text{t} + \theta_0)$$$

El enunciado indica que el flujo es máximo cuando «t = 0», por lo que el ángulo inicial debe ser nulo ya que «cos 0 = 1». La ecuación anterior, para nuestro problema, es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = B\cdot A\cdot cos\ (\omega\cdot t)}$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \Phi(t) = 0.25\ \text{T}\cdot 4\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2\cdot \text{cos}\ (50\pi\cdot t) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 10^{-3}\cdot cos\ (50\pi \cdot t)\ Wb}}$$$

ii) Para calcular la fuerza electromotriz inducida aplicas la ley de Faraday-Lenz, que define la «fem» inducida es la derivada del flujo magnético respecto al tiempo, cambiada de signo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(t) = -\dfrac{d\Phi(t)}{dt}}$$$

Si haces la derivada de la ecuación que has obtenido en el apartado i):

$$$ \varepsilon(\text{t}) = -\dfrac{\text{d}}{\text{dt}}\left[10^{-3}\cdot \text{cos}\ (50\pi\cdot \text{t})\right]\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(t) = 0.05\pi\cdot sen\ (50\pi\cdot t)}$$$

Si lo quieres expresar numéricamente:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = 0.157\cdot sen\ (50\pi\cdot t) \quad (V)}}$$$

La intensidad de corriente inducida la obtienes a partir de la ley de Ohm, que la relaciona con la «fem» y la resistencia de la espira:

$$$ \color{forestgreen}{\bf I(t) = \dfrac{\varepsilon(t)}{R}}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \text{I(t)} = \dfrac{0.05\pi\cdot \text{sen}\ (50\pi\cdot \text{t})\ \text{V}}{10\ \Omega}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf I(t) = 1.57\cdot 10^{-2}\cdot sen\ (50\pi\cdot t) \quad A}}$$$

La corriente que se genera es alterna. Tanto la «fem» como la intensidad de la corriente dependen de una función armónica, por lo que sus valores cambian de magnitud de forma sinusoidal y cambian de sentido periódicamente con el tiempo.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión a2 (8642)

F_y_Q — 2026-06-06T07:57:51Z

Dos partículas idénticas, de carga «q» y masa «m», están separadas una distancia «d». Se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje por acción de la fuerza electrostática hasta duplicar la distancia inicial con la primera. i) Determina la expresión del módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final. ii) Indica como cambiaría el módulo de la velocidad si se duplicase el valor de las cargas.

La resolución de este problema se basa en el principio de conservación de la energía mecánica, donde tendrás en cuenta las energías cinética y potencial electrostática.

i) La energía mecánica se conserva porque la fuerza electrostática es una fuerza conservativa, por lo que la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final:

$$$ \text{E}_\text{M}(\text{i}) = \text{E}_\text{M}(\text{f}) \implies \color{forestgreen}{\bf E_c(i) + U(i) = E_c(f) + U(f)}$$$

Puedes reescribir la ecuación anterior si tienes en cuenta que, al inicio, la partícula está en reposo y a una distancia «d» de la partícula que permanece en reposo, mientras que al final tiene una velocidad no nula y la distancia es el doble:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \cancelto{0}{\text{v}_\text{i}^2} + \text{K}\cdot \dfrac{\text{q}^2}{\text{d}} = \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{f}^2 + \text{K}\cdot \dfrac{\text{q}^2}{2\text{d}}\ \to\ \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{f}^2 = \text{K}\left(\dfrac{\text{q}^2}{\text{d}} - \dfrac{\text{q}^2}{2\text{d}}\right)$$$

Si despejas la velocidad final de la ecuación anterior:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_f = \sqrt{\dfrac{K\cdot q^2}{m\cdot d}}}}$$$

ii) Si reescribes la expresión que has obtenido antes para ver más clara la dependencia de la velocidad con el valor de las cargas, obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v_f = \lvert q\rvert \cdot \sqrt{\dfrac{K}{m\cdot d}}}$$$

Si las cargas se hacen el doble, en la ecuación tendrías:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v^{\prime}_f = \lvert 2q\rvert\cdot \sqrt{\dfrac{K}{m\cdot d}}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2\cdot v_f}}$$$

Es decir, el módulo de la velocidad se duplicaría, ya que la velocidad es directamente proporcional al valor de la carga.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión a1 (8641)

F_y_Q — 2026-06-05T03:25:26Z

Indica, razonando las respuestas, si los siguientes enunciados son ciertos: i) si el flujo magnético a través de una superficie es cero, entonces necesariamente el campo magnético es nulo; ii) la fuerza electromotriz inducida será no nula si el flujo es no nulo.

i) Este enunciado es falso. El flujo magnético a través de una superficie «S» se define como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi_B = \displaystyle \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A}}$$$

Donde $$$ \vec{\text{B}}$$$ es el campo magnético y $$$ \text{d}\vec{\text{A}}$$$ es el vector diferencial de superficie perpendicular a la misma.

Para que el flujo sea nulo pueden ocurrir dos cosas: que el campo sea cero o que el número neto de líneas de campo que atraviesan la superficie sea cero. Esto puede ocurrir si el número de líneas de campo que entran el igual al número de las que salen de la superficie o si el campo el perpendicular al vector diferencial de superficie en todos los puntos, es decir, que el campo magnético es tangente a la superficie.

Un ejemplo de esto puede ser una bobina plana situada paralela a un campo magnético uniforme. El flujo es cero porque $$$ \vec{\text{B}} \perp \text{d}\vec{\text{A}}$$$ y el coseno de 90º es cero, aunque el campo magnético sea distinto de cero.

ii) Este enunciado también es falso. Según la ley de Faraday, la «fem» inducida es igual a la variación del flujo magnético con el tiempo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}}$$$

Esta «fem» inducida se debe a que el flujo varíe con el tiempo y no a que sea cero en un instante dado. Un valor constante, distinto de cero, del flujo magnético da lugar a una fuerza electromotriz inducida nula porque la derivada de una constante es cero.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque A - cuestiones a y b (8640)

F_y_Q — 2026-06-04T05:21:22Z

a) Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) para que la energía mecánica se conserve es necesario que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sea nula; ii) la energía mecánica se conserva cuando sobre un cuerpo actúan solo fuerzas conservativas.

b) Un niño de 15 kg resbala desde el reposo a lo largo de un tobogán de 2 m de altura cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 30º. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es 0.25: i) realiza un esquema con las fuerzas que actúan sobre el niño y determina el trabajo de la fuerza de rozamiento. ii) Calcula la energía cinética del niño al final del tobogán y la velocidad con la que llega. Responde razonadamente.

$$$ \text{g} = 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$$$

a) Tienes que razonar, argumentando en la teoría que conoces, si las afirmaciones son verdaderas o no.

i) Se trata de una afirmación que es falsa. La condición para que la energía mecánica de un sistema se conserve es que no haya trabajo no conservativo, es decir, que el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas del sistema sea igual a cero. Un ejemplo de sistema físico en el que se conserva la energía mecánica y la resultante de las fuerzas no es nula es un cuerpo en caída libre, si se desprecian los rozamientos. El cuerpo cae por acción de una fuerza neta, el peso del cuerpo, y, al ser una fuerza conservativa, no se degrada energía y se conserva la energía mecánica.

ii) Se trata de una afirmación que es verdadera. El teorema de la conservación de la energía cinética indica que el trabajo realizado sobre un sistema es igual a la variación de su energía cinética. Si solo hay fuerzas conservativas en el sistema:

$$$ \Delta \text{E}_\text{c} = \text{W}_\text{T}$$$

Si solo actúan fuerzas conservativas:

$$$ \text{W}_\text{T} = \text{W}_\text{c}$$$

Por otro lado, el trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la disminución de la energía potencial:

$$$ \Delta \text{E}_\text{p} = -\text{W}_\text{c}$$$

Al igualar las expresiones de la energía cinética y potencial obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\Delta E_c = -\Delta E_p \implies \Delta E_c + \Delta E_p = 0}} \implies \color{firebrick}{\boxed{\bf \Delta E_m = 0}}$$$

b) Se trata de un problema de dinámica clásico en el que debes realizar un correcto diagrama del cuerpo libre y calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento y cómo varía la energía mecánica del sistema.

i) El diagrama del cuerpo libre puede ser algo como este esquema:

Cuando desliza por el tobogán, sobre el niño actúan tres fuerzas principales:
1. El peso (negro). Debes descomponer esta fuerza en dos componentes: una paralela a la superficie del tobogán y otra perpendicular a esa superficie (azul). Los valores de las componentes son:

$$$ \color{royalblue}{\bf P_x = m\cdot g\cdot sen\ 30^o}$$$
$$$ \color{foresgreen}{\bf P_y = m\cdot g\cdot cos\ 30^o}$$$

2. La normal (violeta). Es la fuerza de reacción de la componente «y» del peso. Tiene el mismo valor y dirección que ella, aunque sentido contrario.

3. La fuerza de rozamiento (rojo). Es paralela a la superficie del tobogán y siempre se opone al movimiento, por eso apunta hacia arriba. Su valor es:

$$$ \text{F}_\text{R} = \mu\cdot \text{N}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf F_R = \mu\cdot m\cdot g\cdot cos\ 30^o}$$$

Para poder calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento necesitas conocer la longitud del tobogán. La puedes escribir en función de la altura del mismo y el ángulo de inclinación:

$$$ \text{sen}\ 30^o = \dfrac{\text{h}}{\text{d}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf d = \dfrac{h}{sen\ 30^o}}$$$

El trabajo de rozamiento es:

$$$ \text{W}_\text{R} = \vec{\text{F}}_\text{R}\cdot \vec{\text{d}} = \text{F}_\text{R}\cdot \text{d}\cdot cos\ 180^o\ \to\ \color{forestgreen}{\bf W_R = - \mu\cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\ 30^o}$$$

Solo tienes que sustituir y calcular:

$$$ \text{W}_\text{R} = - 0.25\cdot 15\ \text{kg}\cdot 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 2\ \text{m}\cdot \text{ctg}\ 30^o = \color{firebrick}{\boxed{\bf - 127.3\ J}}$$$

ii) Este apartado se resuelve muy fácil si aplicas el teorema de la conservación de la energía mecánica. La variación de la energía mecánica del sistema tiene que ser igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, que es la fuerza de rozamiento en este caso:

$$$ \Delta \text{E}_\text{m} = \text{W}_{\text{F}_\text{R}} \implies \color{forestgreen}{\bf E_m(f) - E_m(i) = W_{F_R}}$$$

Como el niño parte del reposo, desde la altura del tobogán, su energía mecánica inicial tiene solo componente potencial gravitatoria. Al llegar a la parte baja del tobogán su energía mecánica solo tiene componente cinética, por lo que puedes reescribir la ecuación anterior, despejando el valor de la energía cinética, como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E_c(f) = E_p(i) + W_{F_R}}$$$

El cálculo de la energía cinética del niño al final del tobogán es inmediato:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{E_c(f) = m\cdot g\cdot h + W_{F_R}}} = 15\ \text{kg}\cdot 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 2\ \text{m} - 127.3\ \text{J} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 166.7\ J}}$$$

La velocidad final la obtienes despejando de la ecuación de la energía cinética que acabas de calcular:

$$$ \text{E}_\text{c} = \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \text{E}_\text{c} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 166.7\ J}{15\ kg}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.71\ m\cdot s^{-1}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

Desintegración del polonio-210: actividad radiactiva y energía liberada (8638)

F_y_Q — 2026-05-30T04:52:49Z

El polonio‑210 ($$$ {}^{210}_{\phantom{0}84}\mathrm{Po}$$$) es un emisor alfa que se desintegra a plomo‑206 ($$$ {}^{206}_{\phantom{0}82}\mathrm{Pb}$$$). Su periodo de semidesintegración es de 138.4 días.

a) Escribe la ecuación de la desintegración y calcula la energía liberada en cada desintegración, expresada en MeV y en julios.

b) Se dispone de una muestra de 1.00 mg de $$$ {}^{210}\mathrm{Po}$$$ puro. Determina: i) la actividad inicial de la muestra en Bq; ii) la energía total liberada por la muestra al cabo de 276.8 días, suponiendo que se aprovecha toda la energía de las desintegraciones. Expresa el resultado en julios.

Datos: $$$ \text{m}(^{210}\text{Po}) = 209.9829\ \text{u}$$$; $$$ \text{m}(^{206}\text{Pb}) = 205.9745\ \text{u}$$$; $$$ \text{m}(^{4}\text{He}) = 4.0026\ \text{u}$$$; $$$ 1\ \text{u} = 1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$; $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{N}_\text{A} = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{q}_\text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$.

a) La ecuación de desintegración alfa del polonio‑210 debe cumplir que se conserve la masa y el total de protones en el proceso:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf ^{210}_{\phantom{0}84}\mathrm{Po}\ \to\ ^{206}_{\phantom{0}82}\mathrm{Pb} + ^{4}_{2}\mathrm{He}}}$$$

La energía liberada por cada núcleo desintegrado está relacionada con el defecto de masa entre los productos y el reactivo. Primero calculas el defecto de masa:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Delta m = m(^{210}\mathrm{Po}) - \left[m(^{206}\mathrm{Pb}) + m(^{4}\mathrm{He})\right]}$$$

Sustituyes los valores dados en el enunciado y calculas:

$$$ \Delta \text{m} = 209.9829\ \text{u} - (205.9745 + 4.0026)\ \text{u} = \color{royalblue}{\bf 5.58\cdot 10^{-3}\ u}$$$

La energía que libera cada núcleo desintegrado es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E = \Delta m\cdot c^2}$$$

Solo tienes que sustituir y calcular, pero ten cuidado con las unidades:

$$$ \require{cancel} 5.58\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{u}}\cdot \dfrac{1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}}{1\ \cancel{\text{u}}}\cdot \left(3\cdot 10^8\right)^2\ \text{m}^2\cdot \text{s}^{-2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 8.34\cdot 10^{-13}\ J}}$$$

Para hacer la conversión a MeV necesitas dos factores de conversión:

$$$ \require{cancel} 8.34\cdot 10^{-13}\ \cancel{\text{J}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{eV}}}{1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}}\cdot \dfrac{1\ \text{MeV}}{10^6\ \cancel{\text{eV}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.21\ MeV}}$$$

b) La actividad inicial está relacionada con la constante de desintegración y el número inicial de núcleos siguiendo la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A_0 = \lambda\cdot N_0}$$$

i) Necesitas calcular la constante de desintegración y lo puedes hacer a partir del periodo de semidesintegración:

$$$ \color{forestgreen}{\bf}\lambda = \dfrac{\text{ln} 2}{T_{\frac{1}{2}}}$$$

Para hacer el cálculo necesitas expresar el periodo en segundos:

$$$ \require{cancel} 138.4\ \cancel{\text{días}}\cdot \dfrac{24\ \cancel{\text{h}}}{1\ \cancel{\text{día}}}\cdot \dfrac{3.6\cdot 10^3\ \text{s}}{1\ \cancel{\text{h}}} = \color{royalblue}{\bf 1.2\cdot 10^{7}\ s}$$$

Sustituyes y calculas la constante de desintegración:

$$$ \lambda = \dfrac{\text{ln}\ 2}{1.2\cdot 10^7\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 5.78\cdot 10^{-8}\ s^{-1}}$$$

El número inicial de núcleos lo calculas a partir de la masa de muestra y la masa atómica del elemento:

$$$ \require{cancel} 1\ \cancel{\text{mg}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{g}}}{10^3\ \cancel{\text{mg}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{209.9829\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 2.868\cdot 10^{18}\ núcleos}$$$

La actividad inicial que necesitas calcular es:

$$$ \text{A}_0 = 5.78\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}\cdot 2.868\cdot 10^{18}\ \text{núcleos} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.66\cdot 10^{11}\ Bq}}$$$

ii) En el apartado a) has calculado la energía liberada por cada núcleo desintegrado, por lo que, si calculas los núcleos que se han desintegrado en los 276.8 días, puedes saber la energía total liberada. Observa que el tiempo que tienes que considerar es justo el doble que el tiempo de semidesintegración. Eso quiere decir que, tras dos semividas, la fracción de núcleos que queda sin desintegrarse es $$$ \frac{1}{4}$$$ del número inicial de núcleos. Esto quiere decir que se habrán desintegrado las tres cuartas partes de los núcleos iniciales y la energía total asociada es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_T = E\cdot N_{desint}}} = 8.34\cdot 10^{-13}\ \dfrac{\text{J}}{\cancel{\text{núcleo}}}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot 2.868\cdot 10^{18}\ \cancel{\text{núcleos}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.79\cdot 10^6\ J}}$$$

Otra forma de hacer este cálculo sería teniendo en cuenta la ecuación que relaciona el número de núcleos que quedan tras un tiempo determinado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}$$$

Para determinar los núcleos que se han desintegrado tendrías que hacer la diferencia entre los iniciales y los que resultan tras el tiempo que estás considerando, por lo que la ecuación que tienes que aplicar es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf N_{desint} = N_0\left(1 - e^{-\lambda\cdot t}\right)}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{N}_{\text{desint}} = 2.868\cdot 10^{-18}\ \text{núcleos}\left(1 - \text{e}^{-5.78\cdot 10^{-8}\ \cancel{\text{s}^{-1}}\cdot 2.4\cdot 10^7\ \cancel{\text{s}}}\right) = \color{royalblue}{\bf 2.1516\cdot 10^{18}\ núcleos}$$$

El último paso es multiplicar la energía asociada a la desintegración de cada núcleo por los núcleos desintegrados:

$$$ \require{cancel} \text{E}_\text{T} = 8.34\cdot 10^{-13}\ \dfrac{\text{J}}{\cancel{\text{núcleo}}}\cdot 2.1516\cdot 10^{18}\ \cancel{\text{núcleos}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.79\cdot 10^6\ J}}$$$

Análisis de un sistema con tres cargas eléctricas (8637)

F_y_Q — 2026-05-27T04:25:01Z

Tres cargas puntuales están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo en el plano XY: $$$ \text{Q}_1 = +4\ \text{nC}$$$ en el punto A(0, 0) cm, $$$ \text{Q}_2 = –2\ \text{nC}$$$ en el punto B(3, 0) cm, $$$ \text{Q}_3 = +5\ \text{nC}$$$ en el punto C(0, 4) cm.

a) Calcula el vector campo eléctrico total (módulo, dirección y sentido) en el punto P(3, 4) cm.

b) Determina la energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas.

c) Calcula el trabajo que debe realizar un agente externo para traer una cuarta carga $$$ \text{Q}_4 = +1\ \text{nC}$$$ desde el infinito hasta el punto «P», en presencia de las otras tres cargas fijas.

Dato: $$$ \text{K} = 9\cdot 10^9\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2}$$$

Debes tener cuidado con las unidades de distancia porque no están en unidades SI.

a) Para calcular el campo eléctrico total en «P» debes aplicar el principio de superposición:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3}$$$

Necesitas conocer el campo que cada una de las cargas crea en el punto que tienes que considerar:

1. Campo que crea la carga 1 en «P».

La distancia entre los puntos «A» y «P» es:

$$$ \text{d}_{\text{AP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.05\ m}$$$

El vector unitario que contiene la dirección y el sentido del campo eléctrico es:

$$$ \vec{\text{u}}_1 = \dfrac{0.03}{0.05}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0.04}{0.05}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_1 = 0.6\ \vec{\text{i}} + 0.8\ \vec{\text{j}}$$$

El módulo del campo es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_1 = K\dfrac{\lvert Q_1\rvert}{d_{AP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{4\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.05^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 1.44\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

El vector del campo eléctrico de la primera carga en el punto «P» lo obtienes al multiplicar el módulo calculado por el vector unitario:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_1 = E_1\cdot \vec{u}_1}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_1 = 8\ 640\ \vec{i} + 11\ 520\ \vec{j}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

2. Campo que crea la carga 2 en «P»:

De manera análoga al caso de la carga 1 haces la distancia entre los puntos «B» y «P», el vector unitario y el módulo del campo:

$$$ \text{d}_{\text{BP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0.03)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.04\ m}$$$

$$$ \vec{\text{u}}_2 = \dfrac{0}{0.04}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0.04}{0.04}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_2 = \vec{\text{j}}$$$

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_2 = K\dfrac{\lvert Q_2\rvert}{d_{BP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{2\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.04^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 1.125\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

Multiplicas el módulo por el vector unitario para obtener el vector del campo eléctrico. Recuerda que ahora sí que debes tener en cuenta el signo de la carga:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_2 = E_2\cdot \vec{u}_2}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_2 = - 11\ 250\ \vec{j}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

3) Campo que crea la carga 3 en «P»: Vuelves a hacer lo mismo para la carga 3; distancia, vector unitario y módulo:

$$$ \text{d}_{\text{CP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0)^2 + (0.04 - 0.04)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.03\ m}$$$

$$$ \vec{\text{u}}_3 = \dfrac{0.03}{0.03}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0}{0.03}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_3 = \vec{\text{i}}$$$

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_3 = K\dfrac{\lvert Q_3\rvert}{d_{CP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{5\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.03^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 5\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

Multiplicas el módulo por el vector unitario para obtener el vector del campo eléctrico:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_3 = E_3\cdot \vec{u}_3}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_3 = 50\ 000\ \vec{i}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

El campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos que has calculado:

$$$ \vec{\text{E}}_\text{P} = (8\ 640 + 50\ 000)\ \vec{\text{i}} + (11\ 530 - 11\ 250)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \vec{E}_P = 58\ 640\ \vec{i} + 270\ \vec{j}}}$$$

El módulo del vector es:

$$$ \text{E}_\text{P} = \sqrt{(58\ 640^2 + 270^2)\ \text{m}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 58\ 641\ N\cdot C^{-1}}}$$$

La dirección la obtienes a partir de la tangente del ángulo entre sus componentes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{tg\ \theta = \dfrac{E_{T_y}}{E_{T_x}}}}\ \to\ \theta = \text{arctg}\ \left(\dfrac{270}{58\ 640}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.26^o\ (\text{sobre el eje X, hacia la derecha})}}$$$

b) La energía electrostática total es la suma de las energías potenciales de cada par de cargas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf U = K\left( \dfrac{Q_1\cdot Q_2}{d_{AB}} + \dfrac{Q_1\cdot Q_3}{d_{AC}} + \dfrac{Q_2\cdot Q_3}{d_{BC}}\right)}$$$

Las distancias entre los puntos son:

$$$ \text{d}_{\text{AB}} = \sqrt{[\left[(0.03 - 0)^2 + (0 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.03\ m}$$$
$$$ \text{d}_{\text{AC}} = \sqrt{[\left[(0 - 0)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.04\ m}$$$
$$$ \text{d}_{\text{BC}} = \sqrt{[\left[(0 - 0.03)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.05\ m}$$$

Sustituyes en la ecuación de la energía potencial electrostática, pero debes prestar atención a los signos de las cargas porque los debes considerar:

$$$ \require{cancel} \text{U} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\ \left[ \dfrac{4\cdot10^{-9}\cdot (-2\cdot 10^{-9})}{0.03} + \dfrac{4\cdot 10^{-9}\cdot 5\cdot 10^{-9}}{0.04} + \dfrac{(-2\cdot 10^{-9})\cdot 5\cdot 10^{-9})}{0.05} \right]\ \dfrac{\cancel{\text{C}^2}}{\cancel{\text{m}}}$$$

Cuando haces la operación, y tienes en cuenta las unidades resultantes, obtienes como resultado:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf U = 3\cdot 10^{-7}\ J}}$$$

c) Para poder calcular el trabajo para el traslado de la carga 4, necesitas conocer el potencial eléctrico en «P»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf V_P = K\left( \dfrac{Q_1}{d_{AP}} + \dfrac{Q_2}{d_{BP}} + \dfrac{Q_3}{d_{CP}} \right)}$$$

Ya conoces las distancias que aparecen en la ecuación, por lo que solo tienes que sustituir y calcular:

$$$ \require{cancel} \text{V}_\text{P} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\text{C}\cancel{^2}} \left( \dfrac{+4\cdot 10^{-9}}{0.05} + \dfrac{-2\cdot 10^{-9}}{0.04} + \dfrac{+5\cdot 10^{-9}}{0.03} \right)\ \dfrac{\cancel{\text{C}}}{\cancel{\text{m}}} = \color{royalblue}{\bf 1\ 770\ V}$$$

El trabajo externo es el producto de este potencial por la carga que se traslada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{W_{ext} = Q_4\cdot V_P}} = 10^{-9}\ \text{C}\cdot 1\ 770\ \text{V} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.77\cdot 10^{-6}\ J}}$$$

Seguridad de un sistema de carga por inducción para un implante de neuroestimulación (8632)

F_y_Q — 2026-05-13T08:33:41Z

Seguro que te resulta familiar la tecnología de carga «sin cable» de los móviles, es decir, dejando el aparato sobre una base que lo carga solo por contacto con ella. Esta tecnología se aplica a otros dispositivos médicos que son implantados en el cuerpo, como los neuroestimuladores para el tratamiento del dolor crónico o los marcapasos para controlar el ritmo cardíaco. Se recargan mediante inducción magnética desde el exterior, colocando una bobina externa (emisora), por la que circula una corriente alterna, sobre la piel del paciente, justo encima de donde se encuentra el implante (bobina receptora). Sin embargo, la normativa de seguridad ICNIRP, siglas en inglés de la Comisión Internacional de Protección contra Radiaciones No Ionizantes, establece que, para evitar daños en las células de los tejidos del paciente por calentamiento o corrientes parásitas, el campo magnético en el tejido no debe superar ciertos umbrales de seguridad.

A una señora se le implanta un neuroestimulador para controlar el dolor crónico en la zona lumbar a una profundidad de 1.5 cm bajo la piel. El aparato tiene una bobina de 400 espiras de 0.8 cm de radio y una resistencia interna de $$$ 25\ \Omega$$$. Para cargar el implante se dispone de un cargador magnético con una bobina de 50 espiras y 2.5 cm de radio por la que circula una corriente eléctrica alterna de intensidad $$$ \text{I}(t) = 0.03\cdot \text{sen}\ (10^5\pi t)\ (\text{A})$$$. Si el campo magnético máximo que permite la norma ICNIRP para frecuencias de 50 kHz es de $$$ 27\ \mu T$$$:

a) Calcula el valor máximo del campo magnético ($$$ \text{B}_{\text{máx}}$$$) en el centro de la bobina del implante. Determina si el dispositivo cumple con la normativa ICNIRP.

b) Obtén la expresión de la fuerza electromotriz inducida en el implante. ¿Cómo afecta al voltaje obtenido el hecho de tener 400 espiras en lugar de una sola espira?

c) Si la potencia necesaria para cargar la batería del implante es de 5 mW, calcula la potencia media que este sistema entrega a la resistencia del circuito, a partir del valor de la fem eficaz. ¿Es suficiente para cargar el dispositivo?

Dato: $$$ \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \text{m}\cdot \text{A}^{-1}$$$

a) La ecuación para calcular el campo magnético en el eje de la bobina de implante es la de una espira circular, pero multiplicada por el número de espiras de la bobina. Si necesitas repasar cómo se obtiene esta ecuación, a partir de la ley de Biot-Savart, puedes hacerlo viendo este vídeo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf B = N_1\cdot \dfrac{\mu_0\cdot I\cdot R_1^2}{2(R_1^2 + z^2)^{3/2}}}$$$

Debes tener mucho cuidado con la unidades al sustituir en la ecuación, siendo lo ideal que expreses todos los datos en unidades SI. El campo magnético será máximo cuando lo sea la intensidad de la corriente, es decir, cuando I = 0.03 A:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 50\cdot \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{A}^{-1}}\cdot 0.03\ \cancel{\text{A}}\cdot (2.5\cdot 10^2)^2\ \cancel{\text{m}^2}}{2\big[(2.5\cdot 10^2)^2 + (1.5\cdot 10^2)^2\big]^{3/2}\ \cancel{\text{m}^3}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.38\cdot 10^{-5}\ T}}$$$

Debes hacer la conversión del resultado a la unidad de referencia de la norma, para poder hacer la comparación:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 2.38\cdot 10^{-5}\ \cancel{\text{T}}\cdot \dfrac{1\ \mu\ \text{T}}{10^{-6}\ \cancel{\text{T}}} = \color{royalblue}{\bf 23.8\ \mu\ T}$$$

Como el valor obtenido es menor que el límite que impone la norma ICNIRP, el dispositivo cumple con la normativa de seguridad para esa profundidad y corriente.

b) Según la ley de Faraday-Lenz, la fem inducida es la variación temporal del flujo magnético total. El flujo a través de las espiras del implante, si supones que el campo magnético es uniforme en su sección, ($$$ \text{S}_2 = \pi\cdot \text{R}_2^2$$$) es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = N_2\cdot B(t)\cdot S_2}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \Phi(\text{t}) = 400\cdot [2.38\cdot 10^{-5}\cdot \text{sen}(10^5\pi t)\ \text{T}]\cdot (\pi\cdot (8\cdot 10^{-3})^2)\ \text{m}^2 = \color{royalblue}{\bf 1.91\cdot 10^{-6}\cdot sen(10^5\pi t)\ Wb}$$$

Derivas la expresión anterior con respecto al tiempo para obtener la fem:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon(t) = - \dfrac{d\Phi}{dt}}} = - 1.91 \cdot 10^{-6}\cdot 10^5\pi\cdot \text{cos}\ (10^5\pi \text{t})\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = -0.6\cdot cos\ (10^5\pi t)\ V}}$$$

El voltaje obtenido es directamente proporcional al número de espiras del receptor. Si el implante tuviera una sola espira, la fem máxima sería de apenas $$$ 1.5\cdot 10^{-3}\ \text{V}$$$, un valor insuficiente para cargar cualquier batería.

c) La potencia media se define en función de la fem eficaz, por lo que antes debes calcularla:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{\varepsilon_{\text{máx}}}{\sqrt{2}}}} = \dfrac{0.60\ \text{V}}{\sqrt{2}} = \color{royalblue}{\bf 0.424\ V}$$$

La potencia media disipada en la resistencia interna es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{P{m} = \dfrac{\varepsilon_{ef}^2}{R_{int}}}} = \dfrac{0.424^2\ \text{V}^2}{25\ \Omega} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.2\cdot 10^{-3}\ W}}$$$

Puedes expresar el resultado obtenido como 7.2 mW, que es un valor mayor que los 5 mW requeridos por el dispositivo implantado, por lo que sí se cargará correctamente y con seguridad.

Velocidad mínima de un saque de tenis para pasar la red (1224)

F_y_Q — 2026-05-09T03:47:53Z

Un jugador de tenis hace un servicio golpeando la pelota horizontalmente a una altura de 2.15 m. Si la red está a 13 m de distancia y esta tiene una altura de 90 cm:

a) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima requerida para que la pelota pase justo por encima de la red?

b) ¿Dónde tocará el suelo en ese caso?

Puedes empezar el problema haciendo un esquema de la situación, colocando los datos iniciales y aquello que necesitas calcular. Este modo de hacerlo te permite aclarar las ideas y te ayuda a trazar la estrategia para resolverlo.

Se trata de un movimiento horizontal en el que la única aceleración, si no consideramos rozamientos, es la gravedad.

a) Como conoces la altura de la red y la altura desde la que se golpea la pelota, puedes calcular el tiempo que tardará la bola en llegar a la red usando la ecuación de la posición vertical de la pelota:

$$$ \text{y} = \text{h}_0 - \dfrac{\text{g}}{2}\text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t = \sqrt{\dfrac{2(h_0 - y)}{g}}} \quad [1]$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{t} = \sqrt{\dfrac{2(2.15 - 0.9)\ \cancel{\text{m}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 0.51\ s}$$$

Sustituyes este valor del tiempo en la ecuación de la posición horizontal de la pelota y le pones la condición de la distancia a la que se encuentra la red:

$$$ \text{x} = \text{v}_0\cdot \text{t}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{v_0 = \dfrac{x}{t}}} = \dfrac{13\ \text{m}}{0.51\ \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 25.5\ m\cdot s^{-1}}}$$$

b) Cuando la bola toque el suelo su altura será cero, por lo que puedes imponer esa condición en la ecuación [1] para calcular el tiempo que estará la pelota en el aire:

$$$ \require{cancel} \text{t}_\text{v} = \sqrt{\dfrac{2(2.15 - 0)\ \cancel{\text{m}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 0.66\ s}$$$

La distancia horizontal que recorre la pelota es:

$$$ \require{cancel} \text{d} = \text{v}_0\cdot \text{t} = 25.5\ \dfrac{m}{\cancel{\text{s}}}\cdot 0.66\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 16.8\ m}}$$$

Velocidad de lanzamiento a canasta para encestar desde muy lejos (1219)

F_y_Q — 2026-05-07T05:40:16Z

Un jugador de baloncesto se sitúa a 14 m de la canasta. Desde allí lanza un tiro, liberando el balón a una altura de 2.20 m y con un ángulo de por encima de la horizontal. Si desde el piso hasta la canasta hay 3.05 m, ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del balón para encestar sin tocar el tablero?

El problema es un lanzamiento parabólico clásico, aunque con algunas características curiosas: el balón sale desde una altura de 2.20 m, debe subir solo 0.85 m más, pero recorriendo 14 m en horizontal con un ángulo pequeño (30º). Esto hace que la velocidad inicial debe ser alta.

El esquema que ilustra la situación es este:

Las ecuaciones del lanzamiento parabólico para la velocidad y la posición del balón son:

Dirección horizontal.
Velocidad: $$$ \color{forestgreen}{\bf v_x = v_{0x} = v_0\cdot cos\ \theta}$$$
Posición: $$$ \color{forestgreen}{\bf x = x_0 + v_0\cdot t\cdot cos\ \theta}$$$

Dirección vertical.
Velocidad: $$$ \color{forestgreen}{\bf v_y = v_{0y}\cdot sen\ \theta - gt}$$$
Posición: $$$ \color{forestgreen}{\bf y = y_0 + v_0\cdot t\cdot sen\ \theta - \dfrac{g}{2}\cdot t^2}$$$

Como conoces la distancia que debe recorrer la pelota hasta llegar a la canasta puedes despejar el tiempo en la ecuación de la posición horizontal y sustituirlo en la ecuación de la posición vertical:

$$$ \color{royalblue}{\bf{t_v = \dfrac{x}{v_0\cdot cos\ 30^o}}}\ \to\ \text{y} = \text{y}_0 + \text{x}\cdot \text{tg}\ \theta - \dfrac{\text{g}\cdot \text{x}^2}{2\text{v}_0^2\cdot \text{cos}^2\ \theta}$$$

Despejas el valor de la velocidad inicial y obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v_0 = \sqrt{\dfrac{g x^2}{2\cdot cos^2\theta \, \big( y_0 + x\cdot tg\ \theta - y \big)}}}$$$

Sustituyes los datos del diagrama y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{v}_0 = \sqrt{\dfrac{9.8\ \dfrac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}^2}\cdot 14^2\ \text{m}^2}{2\cdot \text{cos}^2\ 30^o \, \big(2.2\ \cancel{\text{m}} + 14\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{tg}\ 30^o - 3.05\ \cancel{\text{m}} \big)}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 13.3\ m\cdot s^{-1}}}$$$

Es un tiro desde casi media pista, por eso necesita tanta velocidad inicial, siendo un ángulo tan bajo.