EjerciciosFyQ

Aceleración de un disco homogéneo que rueda por un plano inclinado (791)

F_y_Q — 2026-04-30T05:28:17Z

Deduce la expresión de la aceleración que adquiere un disco homogéneo que rueda, sin deslizar, por un plano inclinado.

Para hacer la deducción debes considerar las fuerzas que actúan sobre el disco y su momento de fuerza o torque.

Sobre el disco actúan:
a) La componente «x» del peso, paralela a la superficie del plano inclinado: $$$ \text{p}_\text{x} = \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta$$$.
b) La normal, que es perpendicular a la superficie del plano inclinado e igual a la componente «y» del peso: $$$ N = \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{cos}\ \theta$$$.
c) El rozamiento estático, que es paralelo al plano y se opone al movimiento. Es: $$$ F_R = \mu\cdot \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{cos}\ \theta$$$.

Si aplicas la segunda ley de Newton obtienes la aceleración con la que se traslada el centro de masas del disco:

$$$ \color{forestgreen}{\bf p_x - F_R = m\cdot a} \quad (1)$$$

Como también existe un movimiento de rotación, debes tener en cuenta el momento de fuerza con respecto al centro de masas. La única fuerza que produce torque es la fuerza de rozamiento, dado que el peso y la normal pasan por el centro de masas. El torque es:

$$$ \tau = \text{F}_\text{R}\cdot \text{R} = \text{I}\cdot \alpha\ \to\ \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{I\cdot \alpha}{R}} \quad (2)$$$

siendo «R» el radio del disco, «I» su momento de inercia y «$$$ \alpha$$$» la aceleración angular.

Para que el disco ruede sin deslizamiento se debe cumplir la siguiente condición:

$$$ \text{a} = \alpha\cdot \text{R}\ \Rightarrow\ \color{forestgreen}{\bf \alpha = \dfrac{a}{R}} \quad (3)$$$

Si sustituyes la ecuación (3) en la ecuación (2):

$$$ \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{I\cdot a}{R^2}}$$$

El momento de inercia de un disco homogéneo es:

$$$ \color{royalblue}{\bf I = \dfrac{m\cdot R^2}{2}}\ \quad (4)$$$

Sustituyes el valor de «I» en la ecuación de la fuerza de rozamiento y obtienes:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{R} = \dfrac{\text{m}\cdot \cancel{\text{R}^2}\cdot \text{a}}{2\ \cancel{\text{R}^2}}\ \to \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{m\cdot a}{2}} \quad (5)$$$

Ya puedes sustituir (5) en la ecuación (1) para obtener la expresión que buscas:

$$$ \require{cancel} \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta - \dfrac{\cancel{\text{m}}\cdot a}{2} = \cancel{\text{m}}\cdot \text{a}\ \to\ \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta = \dfrac{3\text{a}}{2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf a = \dfrac{2g\cdot sen\ \theta}{3}}}$$$

Acceso25 Universidad Cantabria: oscilador armónico simple (1316)

F_y_Q — 2026-04-04T05:21:30Z

Un muelle colocado verticalmente se alarga 1 cm al colocarle una masa de 2 kg en su extremo.

a) Calcula la constante de recuperación del muelle.

b) Se añade una masa de 1 kg a la anterior y se hace oscilar el sistema. Calcula la frecuencia de oscilación.

Dato: $$$ \text{g} = 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$$$

a) La fuerza que se aplica al muelle será el peso que corresponde a la masa que se coloca en su extremo:

$$$ \text{F} = \text{p}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{F = m\cdot g}} = 2\ \text{kg}\cdot 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2} = \color{royalblue}{\bf 19.6\ N}$$$

Si aplicas la ley de Hooke y sustituyes el valor de la fuerza y la deformación del muelle:

$$$ \text{F} = \text{k}\cdot \Delta \text{x}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{k = \dfrac{F}{\Delta x}}}\ \to\ \text{k} = \dfrac{19.6\ \text{N}}{10^{-2}\ \text{m}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.96 \cdot 10^3\ N\cdot m^{-1}}}$$$

b) Al añadir 1 kg, la masa total cambia y eso afecta a la frecuencia de oscilación del movimiento armónico simple. La fuerza aplicada sobre el muelle puede ser escrita en función de la frecuencia angular del oscilador:

$$$ \color{forestgreen}{\bf F = m_T\cdot \omega^2\cdot \Delta x}$$$

Si tienes en cuenta la ecuación de la constante recuperadora «k», puedes escribir la frecuencia angular en función de ella y de la masa total. Despejas el valor de la frecuencia angular, sustituyes y calculas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m_T}}}} = \sqrt{\dfrac{1.96 \cdot 10^3\ \text{N}}{3.0\ \text{kg}}} = \color{royalblue}{\bf 25.6\ rad\cdot s^{-1}}$$$

La ecuación que relaciona la frecuencia angular con la frecuencia del movimiento es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf f= \dfrac{\omega}{2 \cdot \pi}}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{f} = \dfrac{25.56\ \cancel{\text{rad}}\cdot s^{-1}}{2\cdot \pi\ \cancel{\text{rad}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.07\ Hz}}$$$

Constantes de equilibrio y grados de disociación en un sistema en el que se aumenta el volumen (8598)

F_y_Q — 2026-02-07T07:07:50Z

En un reactor de 10 L y 500 K se introduce $$$ \text{PCl}_5(\text{g})$$$ hasta una presión inicial de 2 atm. Se alcanza el equilibrio según la reacción:

$$$ \text{PCl}_5(\text{g}) \rightleftharpoons \text{PCl}_3(\text{g}) + \text{Cl}_2(\text{g})$$$

A esta temperatura, la constante de equilibrio $$$ \text{K}_\text{p}=1.8$$$. Posteriormente, se duplica el volumen manteniendo T constante y se alcanza un nuevo equilibrio. Calcula:

a) El grado de disociación inicial «$$$ \alpha_1$$$» y las presiones parciales.

b) La presión total final $$$ \text{P}_2$$$ y el nuevo grado de disociación «$$$ \alpha_2$$$».

c) El porcentaje de cambio en la concentración de $$$ \text{PCl}_5$$$.

A partir de los datos de T, V y P puedes calcular los moles iniciales del reactivo:

$$$ \require{cancel} \text{PV} = \text{nRT}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{n_0=\dfrac{P_1 V_1}{RT}}}=\dfrac{2\ \cancel{\text{atm}}\cdot 10\ \cancel{\text{L}}}{0.082\ \dfrac{\cancel{\text{atm}}\cdot \cancel{\text{L}}}{\cancel{\text{K}}\cdot \text{mol}}\cdot 500\ \cancel{\text{K}}} = \color{royalblue}{\bf 0.488\ mol}$$$

a) En el equilibrio, suponiendo un grado de disociación del reactivo «$$$ \alpha_1$$$», las concentraciones en el equilibrio de las sustancias son:

$$$ \text{n}_{\text{PCl}_5} = \text{n}_0(1-\alpha_1)$$$
$$$ \text{n}_{\text{PCl}_3} = \text{n}_{\text{Cl}_2} = \text{n}_0 \alpha_1$$$

Sumando todos los moles en el equilibrio:

$$$ \text{n}_\text{t} = \text{n}_0(1+\alpha_1)$$$

Las fracciones molares de las sustancias en el equilibrio son:

$$$ \color{forestgreen}{\bf x_{PCl_5} = \dfrac{1-\alpha_1}{1+\alpha_1}}$$$
$$$ \color{forestgreen}{\bf x_{PCl_3} = x_{Cl_2}= \dfrac{\alpha_1}{1+\alpha_1}}$$$

Escribes la constantes de equilibrio en función de las fracciones molares y la presión inicial:

$$$ \text{K}_\text{p}= \dfrac{(\text{x}_{\text{PCl}_3}\cdot \text{P}_1)(\text{x}_{\text{Cl}_2}\cdot \text{P}_1)}{\text{x}_{\text{PCl}_5}\cdot \text{P}_1}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf K_p = \dfrac{\left[\dfrac{\alpha_1}{(1+\alpha_1)}\right]^2\cdot P_1}{\dfrac{(1-\alpha_1)}{(1+\alpha_1)}} = 1.8}$$$

Si operas con la ecuación y simplificas:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\dfrac{\alpha_1^2}{(1+\alpha_1)\cancel{^2}}}{\dfrac{1-\alpha_1}{\cancel{1+\alpha_1}}} = \dfrac{1.8}{2}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{\dfrac{\alpha_1^2}{(1-\alpha_1)(1+\alpha_1)} = 0.9}}\ \to \alpha_1^2 = 0.9(1-\alpha_1^2)\ \to\ \alpha_1 = \sqrt{\dfrac{0.9}{1.9}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.69}}$$$

Las presiones parciales son:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{P_{PCl_5} = x_{PCl_5}\cdot P_1}} = \dfrac{1-0.69}{1+0.69}\cdot 2\ \text{atm} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.367\ atm}}$$$

$$$ \color{forestgreen}{\bf{P_{PCl_3} = P_{Cl_2} = x_{PCl_3}\cdot P_1}} = \dfrac{0.69}{1+0.69}\cdot 2\ \text{atm} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.816\ atm}}$$$

b) Si se duplica el volumen del reactor la presión será menor y el equilibrio se desplazará hacia los productos para compensar esta bajada de presión. Para poder calcular la presión al alcanzar el nuevo equilibrio necesitas calcular qué fracción de los moles en el equilibrio reacciona. Si llamas «$$$ \beta$$$» a esta fracción de los moles en el equilibrio que reacciona tras el aumento de volumen, los moles de cada especie al alcanzar el segundo equilibrio, calculando los moles de cada especie tras el primer equilibrio, serán:

$$$ \text{n}^{\prime}_{\text{PCl}_5} = 0.488(1 - 0.69)\ \text{mol} - \beta = \color{royalblue}{\bf (0.151 - \beta)\ mol}$$$
$$$ \text{n}^{\prime}_{\text{PCl}_3} = \text{n}^{\prime}_{\text{Cl}_2} = 0.488\cdot 0.69\ \text{mol} + \beta = \color{royalblue}{\bf (0.337 + \beta)\ mol}$$$

Los moles totales tras el segundo equilibrio serán:

$$$ \text{n}_\text{T} = (0.151 - \beta + 2\cdot 0.337\cdot \beta)\ \text{mol} = \color{royalblue}{\bf (0.825 + \beta)\ mol}$$$

Puedes calcular las fracciones molares de cada especie tras el segundo equilibrio:

$$$ \color{forestgreen}{\bf y_{PCl_5} = \dfrac{0.151-\beta}{0.825+\beta}}$$$
$$$ \color{forestgreen}{\bf y_{PCl_3} = y_{Cl_2}= \dfrac{0.337+\beta}{0.825+\beta}}$$$

Vuelves a aplicar la ecuación de la constante de equilibrio, cuyo valor no cambia porque la temperatura es constante, en función de las fracciones molares. Ahora, como partes de los moles en el equilibrio, puedes ponerla solo en función de las fracciones molares:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{K_p = \dfrac{y_{PCl_3}\cdot y_{Cl_2}}{y_{PCl_5}}}}\ \to\ 1.8 = \dfrac{\dfrac{(0.337 + \beta)^2}{(0.825 + \beta)\cancel{^2}}}{\dfrac{0.151 - \beta}{\cancel{0.825 + \beta}}}\ \to\ \dfrac{(0.337 + \beta)^2}{(0.151 - \beta)(0.825 + \beta)} = 1.8$$$

Obtienes una ecuación cuadrática al operar:

$$$ \dfrac{0.337^2 + 2\cdot 0.337\beta + \beta^2}{0.125 - 0.674\beta + \beta^2} = 1.8\ \to\ 0.225 - 1.213\beta + 1.8\beta^2 = 0.114 + 0.674\beta + \beta^2$$$

La ecuación que queda es $$$ \color{forestgreen}{\bf 0.8\beta^2 - 1.887\beta + 0.111 = 0}$$$ y la solución válida, de las dos que obtienes, es $$$ \color{royalblue}{\bf \beta = 0.06}$$$

Los moles de cada especie, en el segundo equilibrio, son:

$$$ \text{n}^{\prime}_{\text{PCl}_5}= (0.151 - 0.06)\ \text{mol} = \color{royalblue}{\bf 0.091\ mol}$$$
$$$ \text{n}^{\prime}_{\text{PCl}_3} = \text{n}^{\prime}_{\text{Cl}_2} = (0.337 + 0.006)\ \text{mol} = \color{royalblue}{\bf 0.397\ mol}$$$

Los moles totales en el equilibrio, al alcanzar el segundo equilibrio, son:

$$$ \text{n}^{\prime}_\text{T} = (0.091 + 2\cdot 0.397)\ \text{mol} = \color{royalblue}{\bf 0.885\ mol}$$$

La presión total final la calculas a partir de la ecuación de los gases ideales:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{P_2 = \dfrac{n^{\prime}_T\cdot R\cdot T}{V_2}}} = \dfrac{0.885\ \cancel{\text{mol}}\cdot 0.082\ \dfrac{\text{atm}\cdot \cancel{\text{L}}}{\cancel{\text{K}}\cdot \cancel{\text{mol}}}\cdot 500\ \cancel{\text{K}}}{20\ \cancel{\text{L}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.81\ atm}}$$$

El cálculo del grado de disociación total lo haces a partir de los moles de reactivo iniciales, el primer grado de disociación y el valor de «$$$ \beta$$$». La ecuación que usas para ello es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\alpha_2 = \dfrac{n_0\cdot \alpha_1 + \beta}{n_0}}} = \dfrac{0.488\cdot 0.69 + 0.06}{0.488} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.813}}$$$

c) Para hacer el cambio en la concentración del reactivo debes tener en cuenta las concentraciones final e inicial y aplicar esta ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \% = \dfrac{M_2 - M_1}{M_1}\cdot 100}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \% = \dfrac{\dfrac{0.091\ \text{mol}}{20\ \text{L}} - \dfrac{0.151\ \text{mol}}{10\ \text{L}}}{\dfrac{0.151\ \text{mol}}{10\ \text{L}}}\cdot 100 = \dfrac{(4.55\cdot 10^{-3} - 1.51\cdot 10^{-2})\ \cancel{\text{M}}}{1.51\cdot 10^{-2}\ \cancel{\text{M}}}\cdot 100 = \color{firebrick}{\boxed{\bf -69.9\ \%}}$$$

Este dato indica que disminuye la concentración de reactivo porque, por un lado, se disocia más al aumentar el volumen, aplicando el principio de Le Chatelier, y por otro lado, el aumento del volumen provoca una menor concentración molar al final del proceso.

Resistencia equivalente de una asociación de cuatro resistencias en paralelo (1727)

F_y_Q — 2026-02-02T05:06:18Z

Calcula la resistencia equivalente de la siguiente asociación en paralelo de resistencias:

En una asociación de resistencias en paralelo, el voltaje es igual en cada uno de las resistencias. La intensidad total que circula por el circuito es igual a la suma de las intensidades que circulan por cada una de las resistencias. Si tienes en cuenta ambas premisas y aplicas la ley de Ohm tienes la ecuación:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\text{V}}{\text{R}_{\text{eq}}} = \dfrac{\text{V}}{\text{R}_1} + \dfrac{\text{V}}{\text{R}_2} + \dfrac{\text{V}}{\text{R}_3} + ...\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} + ...}$$$

Solo tienes que sustituir los valores de las resistencias de la imagen en la ecuación y calcular:

$$$ \text{R}_{\text{eq}} = \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right)\ \Omega^{-1} = \dfrac{23}{15}\ \Omega^{-1}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf R_{eq} = \dfrac{15}{23} = 1.53\ \Omega}}$$$

Estequiometría de la reacción química entre el carbonato de calcio y el clorano (1648)

F_y_Q — 2026-01-28T09:49:25Z

Se tratan 250 g de $$$ \text{CaCO}_3$$$ con clorano. Si la reacción que tiene lugar es:

$$$ \text{CaCO}_3 + \text{HCl}\ \to\ \text{CaCl}_2 + \text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O}$$$

Calcula:

a) La masa de HCl necesaria para que se dé la reacción completa.

b) ¿Qué masa de $$$ \text{CO}_2$$$ se obtendrá?

c) ¿Qué volumen ocupara el $$$ \text{CO}_2$$$, medido en condiciones normales?

Masas atómicas: C=12; O=16; H=1; Cl=35.5; Ca=40.

Como siempre, lo primero que debes hacer es ajustar la reacción química que indica el enunciado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \text{CaCO}_3 + 2\text{HCl} \to \text{CaCl}_2 + \text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O}}$$$

También necesitas las masas moleculares de las sustancias que intervienen en la reacción:

$$$ \text{M}_{\text{CaCO}_3} = 40\cdot 1 + 12\cdot 1 + 16\cdot 3 = \color{royalblue}{\bf 100\ g\cdot mol^{-1}}$$$
$$$ \text{M}_{\text{HCl}} = 1\cdot 1 + 35.5\cdot 1 = \color{royalblue}{\bf 36.5\ g\cdot mol^{-1}}$$$
$$$ \text{M}_{\text{CO}_2} = 12\cdot 1 + 16\cdot 2 = \color{royalblue}{\bf 44\ g\cdot mol^{-1}}$$$

a) Si aplicas la relación másica entre el HCl y el $$$ \text{CaCO}_3$$$, puedes obtener la masa de HCl que necesitas:

$$$ \require{cancel} 250\ \cancel{\text{g CaCO}_3}\cdot \dfrac{2\cdot 36.5\ \text{g HCl}}{100\ \cancel{\text{g CaCO}_3}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 182.5\ g\ HCl}}$$$

b) Haces lo mismo para el dióxido de carbono:

$$$ \require{cancel} 250\ \cancel{\text{g CaCO}_3}\cdot \dfrac{1\cdot 44\ \text{g CO}_2}{100\ \cancel{\text{g CaCO}_3}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 110\ g\ CO_2}}$$$

c) Un mol de cualquier gas ocupa, medido en condiciones normales, 22.4 L. En el caso del $$$ \text{CO}_2$$$, un mol equivale a 44 g. El volumen que buscas es:

$$$ \require{cancel} 110\ \cancel{\text{g CO}_2}\cdot \dfrac{22.4\ \text{L}}{44\ \cancel{\text{g CO}_2}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 56\ L\ CO_2}}$$$

Óptica física: interferencia en una cuña de vidrio (8575)

F_y_Q — 2025-12-06T04:19:32Z

Se dispone de dos láminas planas de vidrio, cuyo índice de refracción es $$$ \text{n}_\text{v} = 1.5$$$, de longitud L = 10 cm. Una de ellas se apoya sobre la otra, pero en un extremo se separa mediante un alambre delgado de diámetro «d», formando una cuña de aire de ángulo muy pequeño «$$$ \alpha$$$», como se muestra en la figura:

El índice de refracción del aire es $$$ \text{n}_\text{a} = 1.0$$$. Se ilumina el sistema desde arriba con luz incidente normal a las láminas.

Parte A:

Cuando se utiliza luz monocromática de longitud de onda $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$, se observa un patrón de interferencia formado por franjas brillantes y oscuras. A lo largo de toda la longitud «L» se cuentan exactamente 20 franjas brillantes. Calcula:

i) El ángulo «$$$ \alpha$$$» de la cuña de aire.

ii) El diámetro «d» del alambre.

Parte B:

Ahora se ilumina la cuña con luz blanca, el espectro visible recorre los valores de longitud de onda desde 400 nm a 700 nm. Describe cualitativamente qué se observa en:

iii) El extremo donde las láminas están en contacto, «x = 0».

iv) En una posición ubicada a «x = 2 cm» del borde de contacto.

Las interferencias en una lámina delgada, cuando la luz incide normalmente sobre una cuña de aire, los rayos reflejados en la superficie superior e inferior interfieren. La diferencia de camino óptico es $$$ \delta = 2\text{n}_\text{a}\cdot \text{t} + \frac{\lambda}{2}$$$, donde el término $$$ \frac{\lambda}{2}$$$ surge del cambio de fase $$$ \pi$$$ en la reflexión en la interfaz aire-vidrio inferior, porque la reflexión en la interfaz vidrio-aire superior no produce cambio de fase porque «$$$ \text{n}_\text{v}$$$» es mayor que «$$$ \text{n}_\text{a}$$$».

La interferencia será constructiva cuando $$$ \delta = \text{m}\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 1, 2, 3,...». La interferencia será destructiva cuando $$$ \delta = (\text{m} + \frac{1}{2})\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 0, 1, 2,...».

El término «t» hace referencia al espesor de aire y está relacionado con la distancia «x» al vértice en el que se unen ambas láminas de vidrio y es función del ángulo: «$$$ \text{t}(x) = \alpha\cdot x$$$». En el extremo derecho. «$$$ \text{t(L)} = \text{d} = \alpha\cdot \text{L}$$$».

Parte A: Luz monocromática con $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$.

i) Para calcular el ángulo de la cuña de aire debes comenzar por analizar la posición de las franjas brillantes. Para ello, tienes en cuenta la ecuación de las interferencias constructivas:

$$$ 2\text{t} + \dfrac{\lambda}{2} = \text{m}\cdot \lambda\ \to\ \color{forestgreen}{\bf 2t = \left( m - \dfrac{1}{2} \right) \lambda}$$$

Reescribes la ecuación anterior porque «t» depende del ángulo de la cuña, que es lo que quieres calcular:

$$$ 2\alpha\cdot x = \left(\text{m} - \dfrac{1}{2} \right) \lambda\ \to\ \ \color{forestgreen}{\bf{x_\text{m} = \dfrac{(\text{m} - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}}}, \quad \text{m} = 1, 2, 3, \dots$$$

La primera franja brillante se da cuando «m = 1», la segunda será para «m = 2» y así sucesivamente:

$$$ \color{royalblue}{\bf x_1 = \dfrac{\lambda}{4\alpha}}$$$
$$$ \color{royalblue}{\bf x_2 = \dfrac{3\lambda}{4\alpha}}$$$

El espaciado entre franjas brillantes consecutivas es constante:

$$$ \Delta x = x_{\text{m}+1} - x_\text{m}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \Delta x = \dfrac{\lambda}{2\alpha}}$$$

Como son 20 las franjas brillantes a lo largo de la longitud «L», y si asumes que la primera franja brillante aparece cerca del borde en el que están en contacto las láminas y la última en el extremo opuesto, la franja número 20 corresponde a:

$$$ x_{20} = \text{L} = \dfrac{(20 - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf L = \dfrac{39 \lambda}{4\alpha}}$$$

Ahora puedes despejar el valor de «$$$ \alpha$$$» y calcularlo:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\alpha = \dfrac{39\lambda}{4L}}}\ \to\ \alpha = \dfrac{39\cdot 600\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 0.1\ \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-5}\ \text{rad}}}$$$

ii) El cálculo del diámetro del alambre es inmediato si tienes en cuenta que cuando «x = L» se cumple que «t = d»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{d = \alpha\cdot L}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.1\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-6}\ m}}$$$

Parte B: Luz blanca con $$$ 400\ \text{nm} \leq \lambda \leq 700\ \text{nm}$$$.

En este caso, cada una de las longitudes de onda interfiere según su propia condición, por lo que el patrón resultante será una superposición de franjas coloreadas.

iii) Donde las láminas están en contacto «t = 0». La diferencia de camino óptico es el mismo para todas las longitudes de onda $$$ (\delta = \frac{\lambda}{2})$$$, que coincide con las interferencias destructivas. Eso quiere decir que se observará una franja oscura en ese punto.

iv) Lo primero que debes hacer es calcular el espesor de aire que corresponde a la distancia «x = 2 cm» del extremo izquierdo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{t = \alpha\cdot x}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.02\ \text{m} = \color{royalblue}{\bf 1.17\cdot 10^{-6}\ m}$$$

La condición para interferencia constructiva es:

$$$ 2\text{t} = \left(\text{m} - \frac{1}{2} \right) \lambda, \quad (\text{Ec}.\ 1)$$$

Despejas el valor de «m» en la ecuación y obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda} + \dfrac{1}{2}}$$$

Si impones los límites de la longitud de onda en el espectro visible puedes calcular los órdenes «m» para los que estás dentro del visible:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 6.37\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 3.84\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 4}$$$

Si despejas el valor de la longitud de onda de la «Ec.1» obtienes:

$$$ \lambda = \dfrac{2\text{t}}{\text{m} - \frac{1}{2}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{4t}{2m - 1}}}, \quad m = 4, 5\ \text{y}\ 6$$$

Haces el cálculo para los valores de «m» del visible y obtienes las longitudes de onda:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{7} = 6.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 668\ \text{nm} \quad (rojo)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{9} = 5.20\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 520\ \text{nm} \quad (verde)}}$$$

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{11} = 4.25\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 425\ \text{nm} \quad (violeta)}}$$$

Para las interferencias destructivas puedes hacer una deducción análoga a la que has realizado para las interferencias constructivas. La condición de interferencia destructiva es:

$$$ 2\text{t} = \text{m}\cdot \lambda \quad (\text{Ec}.\ 2)$$$

Si despejas el valor de «m» obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda}}$$$

Los valores de «m» para los extremos de longitud de onda para el visibles son:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 5.85\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 3.34\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 3}$$$

Si despejas la longitud de onda de la «Ec. 2» obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{2t}{m}}$$$

Sustituyes los valores de «m» calculados en esta última ecuación:

$$$ (\text{m} = 3)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{3} = 7.8\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 780\ nm}$$$

Este valor está fuera del rango visible porque es un valor extremo. Puedes analizar qué pasa con el otro valor extremo:

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{6} = 3.9\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 390\ nm}$$$

También queda fuera del intervalo del espectro visible, aunque muy cerca del violeta. Los valores intermedios sí que deben coincidir con el rango del espectro visible:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{4} = 5.85\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 585\ nm \quad (amarillo-naranja)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{5} = 4.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 468\ nm \quad (azul)}}$$$

Como el espectro es continuo, en «x = 2 cm» se observará una mezcla de colores, con intensidades máximas (franjas brillantes) en tonos rojos, verdes y violetas, y mínimos (franjas oscuras) en tonos amarillo-naranja y azul. Este patrón de bandas de colores irisados es característico de la interferencia de luz blanca en películas delgadas.

Flujo magnético, fuerza electromotriz y corriente inducida en un generador (8572)

F_y_Q — 2025-11-30T16:13:48Z

Un generador simple consiste en una bobina rectangular de «N» espiras, con lados «a» y «b», que gira con velocidad angular constante «$$$ \omega$$$» en un campo magnético uniforme «$$$ \text{B} = \text{B}_0\cdot \vec{\text{z}}$$$». La bobina tiene una resistencia total «R». En el instante inicial «t = 0», el vector normal a la superficie de la bobina es paralelo al campo magnético. Calcula:

a) El flujo magnético a través de la bobina en función del tiempo.

b) La fuerza electromotriz inducida.

c) La corriente inducida y potencia disipada en la bobina.

d) El par mecánico necesario para mantener el movimiento.

e) ¿Se conserva la energía en el sistema?

a) El flujo a través de una espira es:

$$$ \Phi_1 = \vec{\text{B}} \cdot \vec{\text{S}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \Phi_1 = B_0\cdot S\cdot \cos(\theta)}$$$

donde «$$$ \theta$$$» es el ángulo entre «$$$ \vec{\text{B}}$$$» y el vector normal a la superficie «$$$ \vec{\text{S}}$$$».

Dado que la bobina gira con velocidad angular constante «$$$ \omega$$$», y en «t = 0» el flujo es máximo, es decir, $$$ \theta(t) = \omega\cdot \text{t}$$$ y la superficie de la espira es «$$$ \text{S} = \text{a}\cdot \text{b}$$$». Para «N» espiras:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = N\cdot B_0\cdot S\cdot cos(\omega t)}}$$$

b) La fuerza electromotriz inducida la puedes obtener a partir de la ley de Faraday:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(\text{t}) = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}}}\ \to\ \varepsilon(\text{t}) = -\text{N}\cdot \text{B}_0\cdot S\, \dfrac{\text{d}}{\text{dt}}[\text{cos}(\omega \text{t})]\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(\text{t}) = N\cdot B_0\cdot S\cdot \omega\cdot sen(\omega t)}}$$$

Puedes definir un valor de «fem» máximo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon_0 = N\cdot B_0\cdot S\cdot \omega}$$$

La «fem» en función del tiempo quedaría escrita como:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = \varepsilon_0\cdot sen(\omega t)}}$$$

c) A partir de la ley de Ohm puedes aprender la corriente inducida:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{I(t)} = \dfrac{\varepsilon(\text{t})}{\text{R}}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf I(t) = \dfrac{\varepsilon_0}{R}\cdot sen(\omega t)}}$$$

La potencia instantánea disipada en la bobina por el efecto Joule es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{P(t)} = \text{I}^2\cdot \text{R}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf P(t) = \dfrac{\varepsilon_0^2}{R}\cdot sen^2(\omega t)}}$$$

Si refieres la potencia a un periodo ($$$ T = 2\pi\cdot \omega^{-1}$$$), la potencia media es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\bar{\text{P}} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{\text{R}}\cdot \text{sen}^2(\omega\text{t})}}\ \to\ \bar{\text{P}} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{\text{R}}\cdot \dfrac{1}{2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{P} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{2R}}}$$$

d) La bobina, al circular corriente, experimenta un par magnético:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{\tau} = \vec{\text{m}}\times \vec{\text{B}}}$$$

El momento dipolar de la bobina es: $$$ \text{m} = \text{N}\cdot \text{I}\cdot \text{S}$$$. Si lo expresas en función del tiempo:

$$$ \text{m(t)} = \text{N}\cdot \text{I(t)}\cdot \text{S}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{m(t) = N \left[\dfrac{\varepsilon_0}{R}\cdot sen(\omega t) \right]\cdot S}}$$$

Si sustituyes $$$ \varepsilon_0 = \text{N}\cdot \text{B}_0\cdot S\cdot \omega$$$:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{m(t) = \dfrac{N^2\cdot B_0\cdot S^2\cdot \omega}{R}\cdot sen(\omega t)}}$$$

El módulo del par magnético es:

$$$ \tau_m(t) = m(t) B_0 \sin(\omega t)$$$

Dado que el ángulo entre $$$ \vec{\text{m}}$$$ y $$$ \vec{\text{B}}$$$ es $$$ \omega\text{t}$$$:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\tau_m(t) = \dfrac{N^2\cdot B_0^2\cdot S^2\cdot \omega}{R}\cdot sen^2(\omega t)}}$$$

Para mantener la velocidad angular constante, hay que aplicar un par externo que sea igual y opuesto al par magnético medio de resistencia:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{\tau} = \dfrac{N^2\cdot B_0^2\cdot S^2\cdot \omega}{2R}}}$$$

e) La potencia mecánica suministrada es:

$$$ \bar{\text{P}} = \bar{\tau}\cdot \omega = \dfrac{\text{N}^2\cdot \text{B}_0^2\cdot \text{S}^2\cdot \omega^2}{2\text{R}}$$$

Esta potencia suministrada coincide con la potencia disipada en la resistencia. Si lo escribes en función de la «fem» máxima:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{P} = \frac{\varepsilon_0^2}{2R}}}$$$

La conclusión es que se cumple el principio de conservación de la energía porque la potencia mecánica entregada para girar la bobina se transforma íntegramente en potencia eléctrica disipada en la resistencia.

Reacciones, potencial y constante de equilibrio de una pila galvánica (8468)

F_y_Q — 2025-05-31T05:16:37Z

Se construye una pila galvánica utilizando un electrodo de níquel sumergido en una disolución de 1.0 M y un electrodo de plata sumergido en una disolución de 1.0 M, a una temperatura de 298 K.

a) Escribe las semirreacciones y la reacción global de la pila, indicando cuál es el ánodo y el cátodo.

b) Calcula el potencial estándar de la pila ().

c) Determina la constante de equilibrio de la reacción global.

d) Si la concentración de se reduce a 0.01 M, calcula el nuevo potencial de la pila ().

Datos: ; ; ;

a) En el ánodo ocurre la reacción de oxidación. Es el níquel quien se oxida porque tiene el menor potencial de reducción:

Ni^{2+} + 2e^-}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\acute{a}}\textbf{nodo: \ce{Ni -> Ni^{2+} + 2e^-}}}}" />

En el cátodo se produce la reducción y es la plata la que se reduce por tener menor potencial de reducción:

Ag}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{c\acute{a}}\textbf{todo: \ce{Ag^+ + e^- -> Ag}}}}" />

La reacción global, igualando las cargas en ambas, es:

Ni^{2+} + 2Ag}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\textbf{\ce{Ni + 2Ag^+ -> Ni^{2+} + 2Ag}}}}" />

b) El potencial estándar de la pila se calcula siempre haciendo la diferencia entre el potencial de reducción del cátodo y el del ánodo:

c) La ecuación de Nernst relaciona el potencial de reducción de la pila con la constante de equilibrio:

Despejas, sustituyes y calculas:

Este valor indica que la reacción está muy desplazada hacia la derecha, es decir, que es muy favorable.

d) Para calcular el potencial al diluir el catión plata vas a volver a usar la ecuación de Nernst, en función del cociente de reacción:

El cociente de reacción es:

Como son dos los electrones que se transfieren, el potencial de la nueva pila es:

Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

F_y_Q — 2025-05-29T11:34:42Z

Considera una partícula cuántica de masa «m» confinada en un pozo de potencial unidimensional infinito en el intervalo . En el instante t = 0, la función de onda de la partícula viene dada por:

a) Normaliza la función de onda inicial y verifica que ya está normalizada.

b) Expresa como una combinación lineal de los estados estacionarios del pozo infinito.

c) Determina la función de onda en un tiempo t > 0.

d) Calcula la probabilidad de que, al medir la energía, se obtenga el valor correspondiente al primer estado excitado (n = 2).

a) La función de onda inicial estará normalizada cuando cumpla la condición:

Escribes la ecuación sustiyendo la función de onda:

Si desarrollas el cuadrado y divides en tres integrales:

Las integrales son inmediatas y las calculas entre los límites de integración:

Si sacas factor común y simplificas:

Como puedes ver, la función de onda está normalizada.

b) La ecuación de los estados estacionarios de un pozo infinito es:

Tienes que expresar la función de onda como combinación lineal de los estados estacionarios:

Los coeficientes los calculas de esta manera:

Si operas con las constantes que está fuera del integrando tienes:

La resolución de la integral la haces en dos partes:

Combinas los términos anteriores y tienes:

Si tienes en cuenta que para valores pares de «n» los términos se cancelan y simplificas, obtienes:

Por lo tanto, para valores pares de «n» los coeficientes son nulos y para valores impares de «n» obtienes:

c) La función de onda en función del tiempo, escrita como combinación lineal de los estados estacionarios, es:

donde el término es:

d) Como para cualquier valor par de «n», la probabilidad de encontrar es nula, es decir:

Esto ocurre porque la función de onda es una combinación de estados estacionarios impares, como has calculado en el segundo apartado del problema.

Concentraciones de los componentes de una mezcla de disoluciones (8460)

F_y_Q — 2025-05-16T02:37:32Z

Se prepara una disolución mezclando 50.0 g de sulfato de cobre(II) pentahidratado () con 200 mL de una disolución acuosa de 1.50 M, cuya densidad es 1.12 g/mL. Posteriormente, se diluye la mezcla hasta un volumen final de 500 mL, obteniendo una disolución con una densidad de 1.18 g/mL. Calcula:

a) La molaridad de en la disolución final.

b) La molalidad de en la disolución final.

c) El porcentaje en masa de en la disolución final.

d) La fracción molar de agua en la disolución final.

Datos: Cu = 63.55, S = 32.07, O = 16.00, H = 1.01. Considera que el se disocia completamente en sus iones.

a) Para determinar la molaridad de en la disolución final debes calcular los moles de la sal pentahidratada que has usado. La masa molecular de la sal es:

Teniendo en cuenta que cada mol de la sal aporta un mol de , habrá:

La molaridad es el cociente entre los moles calculados y el volumen final de la disolución:

b) Los moles de aportados en la disolución de ácido los tienes que calcular a partir del volumen de esa disolución y su molaridad:

Como la molalidad viene dada en función de la masa de disolvente, debes saber qué masa de agua está contenida en la disolución de ácido. Primero calculas la masa de la disolución de ácido:

La masa de agua en la disolución es la diferencia entre la masa total y la masa de ácido:

La sal pentahidratada también aporta agua a la disolución final, por lo que tienes que determinar la masa de agua contenida en la sal. Por cada mol de sal, se incorporan 5 moles de agua:

La masa total de agua, tras la mezcla de las dos disoluciones, es:

La molalidad del ácido es:

c) Necesitas conocer la masa de y la masa total de la disolución final:

El porcentaje en masa es:

d) La fracción molar es el cociente de los moles del componente, el agua en este caso, y los moles totales. Los moles agua son:

Como conoces los moles del soluto, de las dos sustancias que no son el agua, los moles totales serán la suma de todos ellos: