EjerciciosFyQ

Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

F_y_Q — 2025-05-29T11:34:42Z

Considera una partícula cuántica de masa «m» confinada en un pozo de potencial unidimensional infinito en el intervalo . En el instante t = 0, la función de onda de la partícula viene dada por:

a) Normaliza la función de onda inicial y verifica que ya está normalizada.

b) Expresa como una combinación lineal de los estados estacionarios del pozo infinito.

c) Determina la función de onda en un tiempo t > 0.

d) Calcula la probabilidad de que, al medir la energía, se obtenga el valor correspondiente al primer estado excitado (n = 2).

a) La función de onda inicial estará normalizada cuando cumpla la condición:

Escribes la ecuación sustiyendo la función de onda:

Si desarrollas el cuadrado y divides en tres integrales:

Las integrales son inmediatas y las calculas entre los límites de integración:

Si sacas factor común y simplificas:

Como puedes ver, la función de onda está normalizada.

b) La ecuación de los estados estacionarios de un pozo infinito es:

Tienes que expresar la función de onda como combinación lineal de los estados estacionarios:

Los coeficientes los calculas de esta manera:

Si operas con las constantes que está fuera del integrando tienes:

La resolución de la integral la haces en dos partes:

Combinas los términos anteriores y tienes:

Si tienes en cuenta que para valores pares de «n» los términos se cancelan y simplificas, obtienes:

Por lo tanto, para valores pares de «n» los coeficientes son nulos y para valores impares de «n» obtienes:

c) La función de onda en función del tiempo, escrita como combinación lineal de los estados estacionarios, es:

donde el término es:

d) Como para cualquier valor par de «n», la probabilidad de encontrar es nula, es decir:

Esto ocurre porque la función de onda es una combinación de estados estacionarios impares, como has calculado en el segundo apartado del problema.

Niveles del oscilador armónico cuántico y diferencia de energía entre dos estados (8397)

F_y_Q — 2025-02-20T03:34:52Z

Un oscilador armónico cuántico tiene un hamiltoniano dado por:

donde «p» es el operador momento, «m» es la masa de la partícula, es la frecuencia angular del oscilador, y «x» es el operador posición.

a) Demuestra que los niveles de energía del oscilador armónico cuántico son:

b) Calcula la diferencia de energía entre el primer estado excitado (n = 1) y el estado fundamental (n = 0).

a) Puedes escribir el hamiltoniano del oscilador armónico en función de los operadores de creación () y aniquilación (), cuyas fórmulas son:

y

La fórmula del hamiltoniano es:

El operador número () cumple con la condición (), donde son los estados propios del oscilador armónico. Puedes reescribir la ecuación anterior como:

Si das los distintos valores al operador número tienes la ecuación:

b) Lo primero que debes hacer es escribir las ecuaciones para las energías del estado fundamental y el primer estado excitado:

La diferencia de energía es:

Constante de normalización y probabilidad de estar en el estado fundamental sabiendo la función de onda (8396)

F_y_Q — 2025-02-12T04:31:53Z

Una partícula de masa «m» está confinada en una caja unidimensional de longitud «L», con paredes infinitamente altas, es decir, con potencial infinito fuera de la caja. La función de onda inicial de la partícula es:

a) Determina la constante de normalización «A».

b) Encuentra la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado fundamental (n=1).

a) La normalización de la función de onda debe cumplir:

El cuadrado de la función de onda, en el intervalo de la integral, y la integral que tienes que resolver son:

Se trata de una integral con integrando trignométrico y puedes resolverla si tienes en cuenta la ecuación del cuadrado del seno:

Sustituyes en la función:

Para hacer la integral la separas en dos integrales:

La primera integral es:

La integral trigonométrica es:

La constante de normalización será:

b) La función de onda del estado fundamental de una partícula en una dimensión es:

Observa que es de la misma forma que la función de onda y eso va a ser muy relevante. La probabilidad de que esté en el estado fundamental será:

Simplificas la expresión anterior y resuelves:

Frecuencia umbral y potencial de extracción de un metal con los datos de un experimento (8211)

F_y_Q — 2024-05-16T04:54:09Z

Cuando se ilumina una cierta superficie metálica con luz de diferentes longitudes de onda y se miden los potenciales que detienen los fotoelectrones, se obtienen los valores que se muestran en la siguiente tabla:

Representando el potencial en función de la frecuencia, determina:

a) La frecuencia umbral.

b) El trabajo de extracción del metal.

c) La constante de Planck y el error relativo cometido.

Lo primero que debes hacer, dado que te indica el problema que tienes que representar el potencial en función de la frecuencia, es convertir los datos de longitud de onda a frecuencia. Si tienes en cuenta la relación entre ambas magnitudes y la velocidad de propagación, puedes despejar el valor de la frecuencia:

Si divides el valor de la velocidad de propagación de luz en el vacío entre cada valor de longitud de onda, obtienes una tabla como la que sigue, que será la que representes:

La representación gráfica y el ajuste lineal de la misma da lugar a:

Si clicas en la imagen podrás ver el gráfico con más detalle.

La energía de los fotoelectrones es la diferencia entre la energía de la radiación y la energía umbral, pero esta energía es la misma que la energía eléctrica que se usa para detenerlos. Puedes igualar ambas expresiones y obtener:

Por semejanza entre la ecuación de la recta de la gráfica y la ecuación anterior, puedes deducir que:

a) La frecuencia umbral la obtienes de la ordenada en el origen, teniendo en cuenta que la energía umbral la puedes escribir en función de la frencuencia umbral:

Sustituyes los valores conocidos y obtienes la frecuencia umbral:

b) El trabajo de extracción es:

c) La constante de Planck la obtienes de la pendiente de la recta representada:

El error de este valor experimental es:

Efecto fotoeléctrico: longitud de onda y frecuencia umbral para dos metales (8127)

F_y_Q — 2024-01-25T04:37:28Z

La función trabajo del K es 2.2 eV y la del Ni 5.0 eV.

a) Calcula las frecuencias y longitudes de onda umbral para estos dos metales.

b) ¿Dará lugar la luz ultravioleta de longitud de onda 400 nm al efecto fotoeléctrico en el K? ¿Y en el Ni?

c) Calcula la máxima energía cinética de los electrones emitidos en b).

Lo primero que puedes hacer es convertir los valores de función trabajo de ambos metales a unidad SI:

a) La función trabajo está relacionada con la frecuencia umbral por medio de la ecuación de Planck:

Solo tienes que aplicarla para cada uno de los metales:

La longitud se onda se relaciona con la frecuencia por medio de la velocidad de propagación de la radiación:

Los valores de las longitudes de onda son:

b) Se dará efecto fotoeléctrico si la longitud de onda de la radiación empleada es menor que la de la función trabajo. Los 400 nm equivalen a , por lo que, .

c) Solo tienes que tener en cuenta los datos del potasio, que es quien produce efecto fotoeléctrico. Los electrones adquieren una energía cinética que es la diferencia entre la energía de la radiación incidente y la función trabajo del K:

Solo tienes que sustituir y calcular:

Probabilidad de encontrar una partícula en una zona de una caja unidimensional (8103)

F_y_Q — 2023-12-01T05:33:26Z

Una partícula se mueve en el interior de una caja unidimensional de longitud a y potencial infinito en sus extremos calcular la probabilidad de encontrar la partícula a del lado izquierdo de la caja y para que valor del estado cuántico n es máxima esta probabilidad.

Como nuestro problema es unidimensional, vamos a considerar solo la componente «x» del sistema y la posición de la partícula tendrá que variar entre los puntos 0 y . La función de onda que vamos a considerar, por lo tanto, será:

La probabilidad que debes calcular la integral del producto de la conjugada de la función de onda por la propia función de onda. En este caso, al ser unidireccional, coinciden ambas ecuaciones:

Si multiplicas ambas funciones y sacas del integrando las constante, tienes:

Si aplicas la siguiente igualdad trigonométrica puedes hacer la integral más fácil:

La integral anterior, al sacar la constante y operar con la otra que estaba fuera del integrando, queda como:

Puedes dividir la integral en dos integrales; una de ellas es inmediata y la otra debe ser resuelta por sustitución:

El resultado de las integrales que obtienes es:

Aplicas los límites superior e inferior en cada caso y obtienes:

La solución depende de la función seno, con lo que el resultado no es único y es necesario hacer el análisis de los posibles valores de «n» para obtener las probabilidades.

Para valores impares de «n».

Haces dos divisiones de valores impares de «n»:

n = 1, 3, 9, 11, 17, 19...

n = 5, 7, 13, 15, 21, 23...

Para valores pares de «n».

En este caso la división la haces en tres grupos de valores:

n = 2, 10, 18, 26...

n = 4, 8, 12, 16, 20, 22...

n = 6, 14, 22, 30...