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La nave espacial tiene una longitud propia (medida por el astronauta en su propio marco de referencia) de 100 metros. <br class='autobr' /> a) ¿Qué longitud tiene la nave espacial según un observador en la Tierra? <br class='autobr' /> b) Si el astronauta mide un pulso de luz que tarda en recorrer la longitud de la nave, ¿cuánto tiempo mide un observador en la Tierra que el pulso de luz tarda en recorrer la (…)</p> - <a href="https://ejercicios-fyq.com/Fisica-relativista-293" rel="directory">Física relativista</a> / <a href="https://ejercicios-fyq.com/Transformacion-de-Lorentz" rel="tag">Transformación de Lorentz</a>, <a href="https://ejercicios-fyq.com/Teoria-Especial-Relatividad" rel="tag">Teoría Especial Relatividad</a>, <a href="https://ejercicios-fyq.com/RESUELTO" rel="tag">RESUELTO</a> <div class='rss_texte'><p>Un astronauta viaja en una nave espacial a una velocidad de 0.8c (<img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L32xH14/e3de74591a3bb01cc6057dd4cfc8eff5-34645.png?1732958364' style='vertical-align:middle;' width='32' height='14' alt="80\ \%" title="80\ \%" /> de la velocidad de la luz) con respecto a la Tierra. La nave espacial tiene una longitud propia (medida por el astronauta en su propio marco de referencia) de 100 metros.</p> <p>a) ¿Qué longitud tiene la nave espacial según un observador en la Tierra?</p> <p>b) Si el astronauta mide un pulso de luz que tarda <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L37xH20/6ab9f16e4b3af31561666c571aa6e1e6-07d57.png?1744002128' style='vertical-align:middle;' width='37' height='20' alt="1\ \mu s" title="1\ \mu s" /> en recorrer la longitud de la nave, ¿cuánto tiempo mide un observador en la Tierra que el pulso de luz tarda en recorrer la misma distancia?</p> <p>c) Un observador en la Tierra ve pasar la nave espacial. ¿Cuánto tiempo tarda, según este observador, en pasar completamente la nave por un punto dado?</math></p></div> <hr /> <div <div class='rss_ps'><p>a) La contracción de la longitud es un fenómeno relativista que describe cómo la longitud de un objeto en movimiento se acorta en la dirección del movimiento, según un observador en un marco de referencia diferente. La fórmula para la contracción de la longitud es: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/1394859b447e594cc21ae88c6074914a.png' style="vertical-align:middle;" width="190" height="65" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{L = L_0\cdot \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2}}}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{L = L_0\cdot \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2}}}}" /> <br/> <br/> donde «L» es la longitud observada por el observador en la Tierra, «<img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/5944f94c330382d9a86e2cd4f393c07f.png' style="vertical-align:middle;" width="20" height="20" alt="L_0" title="L_0" />» es la longitud propia de la nave espacial (100 m) y «v» es la velocidad de la nave espacial (0.8c). <br/> <br/> Sustituyes los valores dados y calculas: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/da4327dfa3bafc204e7bfa5239aeb0d8.png' style="vertical-align:middle;" width="394" height="65" alt="L = 100\ m\cdot \sqrt{1-\frac{0.8^2\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf L = 60\ m}}" title="L = 100\ m\cdot \sqrt{1-\frac{0.8^2\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf L = 60\ m}}" /></p> <br/> b) El astronauta mide un tiempo de <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/6ab9f16e4b3af31561666c571aa6e1e6.png' style="vertical-align:middle;" width="37" height="20" alt="1\ \mu s" title="1\ \mu s" /> para que el pulso de luz recorra la longitud de la nave en su propio marco de referencia. Para el observador en la Tierra, el tiempo que tarda el pulso de luz se verá afectado por la dilatación del tiempo. Esta dilatación del tiempo es: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/d045be29e843ebbf17b015d19edc0a47.png' style="vertical-align:middle;" width="134" height="67" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}}" /> <br/> <br/> El tiempo que mide el observador en la Tierra es: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/f913afb4bc66899cfd8bf9a9a1c2f611.png' style="vertical-align:middle;" width="397" height="69" alt="t^{\prime} = \gamma\cdot t = \frac{1\ \mu s}{\sqrt{1 - \frac{0.8^2\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t^{\prime} = 1.67\ \mu s}}}" title="t^{\prime} = \gamma\cdot t = \frac{1\ \mu s}{\sqrt{1 - \frac{0.8^2\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t^{\prime} = 1.67\ \mu s}}}" /></p> <br/> c) La longitud de la nave para el observador en la Tierra es de 60 metros. El tiempo que tarda en pasar completamente la nave por un punto dado es el tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/54446fa53b332659c1b23811bfea6942.png' style="vertical-align:middle;" width="405" height="47" alt="t_T = \frac{L}{c} = \frac{60\ \cancel{m}}{3\cdot 10^8\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t_T = 0.2\ \mu s}}}" title="t_T = \frac{L}{c} = \frac{60\ \cancel{m}}{3\cdot 10^8\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t_T = 0.2\ \mu s}}}" /></p> </math></p></div> https://ejercicios-fyq.com/Energia-cinetica-energia-total-y-momento-lineal-de-un-proton-que-se-mueve-a-0 https://ejercicios-fyq.com/Energia-cinetica-energia-total-y-momento-lineal-de-un-proton-que-se-mueve-a-0 2025-02-24T07:33:10Z text/html es F_y_Q Transformación de Lorentz RESUELTO Ecuación de Einstein <p>Un protón se acelera hasta alcanzar una velocidad de 0.99c, donde «c» es la velocidad de la luz en el vacío. Calcula: <br class='autobr' /> a) La energía total del protón. <br class='autobr' /> b) La energía cinética del protón. <br class='autobr' /> c) El momento lineal del protón. <br class='autobr' /> Datos: masa en reposo del protón ; velocidad de la luz ; factor de Lorentz</p> - <a href="https://ejercicios-fyq.com/Fisica-relativista-293" rel="directory">Física relativista</a> / <a href="https://ejercicios-fyq.com/Transformacion-de-Lorentz" rel="tag">Transformación de Lorentz</a>, <a href="https://ejercicios-fyq.com/RESUELTO" rel="tag">RESUELTO</a>, <a href="https://ejercicios-fyq.com/Ecuacion-de-Einstein" rel="tag">Ecuación de Einstein</a> <div class='rss_texte'><p>Un protón se acelera hasta alcanzar una velocidad de 0.99c, donde «c» es la velocidad de la luz en el vacío. Calcula:</p> <p>a) La energía total del protón.</p> <p>b) La energía cinética del protón.</p> <p>c) El momento lineal del protón.</p> <p>Datos: masa en reposo del protón <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L200xH25/181bdfa5f1b9d88ef4ad8ff160a8366c-85dbc.png?1740382844' style='vertical-align:middle;' width='200' height='25' alt="(m_0 = 1.67\cdot 10^{-27}\ kg)" title="(m_0 = 1.67\cdot 10^{-27}\ kg)" /> ; velocidad de la luz <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L204xH25/40445e7a08eea40f37c3124fe89a66c2-fa1b5.png?1740382844' style='vertical-align:middle;' width='204' height='25' alt="(c = 3.00\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})" title="(c = 3.00\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})" /> ; factor de Lorentz <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L149xH81/84fc3d3bb263a7e5327caea8506afcd8-12f7a.png?1740382844' style='vertical-align:middle;' width='149' height='81' alt="\left(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)" title="\left(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)" /></math></p></div> <hr /> <div <div class='rss_ps'><p>a) La energía total de una partícula sigue la ecuación de Einstein de la manera: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/ba5fc6ef0c139f73aa26df5c5bb62cbc.png' style="vertical-align:middle;" width="314" height="24" alt="E_T = m\cdot c^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_T = \gamma\cdot m_0\cdot c^2}}" title="E_T = m\cdot c^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_T = \gamma\cdot m_0\cdot c^2}}" /> <br/> <br/> Ahora calculas el factor de Lorentz para el protón: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/7fa574393c93e1414ae5208deeed8685.png' style="vertical-align:middle;" width="597" height="66" alt="\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 7.09}" title="\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 7.09}" /> <br/> <br/> La energía total es: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/1568c5939a07fd012ac2a3c583f2144e.png' style="vertical-align:middle;" width="578" height="30" alt="E_T = 7.09 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot (3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})^2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.06\cdot 10^{-9}\ J}}}" title="E_T = 7.09 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot (3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})^2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.06\cdot 10^{-9}\ J}}}" /></p> <br/> b) Para hacer el cálculo de la energía cinética del protón debes hacer la diferencia entre la energía total que has calculado y la energía del protón cuando está en reposo: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/850fa4933d74b93728170bb3183a96df.png' style="vertical-align:middle;" width="189" height="23" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C = E_T - m_0\cdot c^2}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C = E_T - m_0\cdot c^2}}" /> <br/> <br/> Sustituyes en la ecuación y calculas: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/8003d695871e900afd4b52747edcb5a8.png' style="vertical-align:middle;" width="677" height="30" alt="E_C = 1.06\cdot 10^{-9}\ J - 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot (3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})^2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.10\cdot 10^{-10}\ J}}}" title="E_C = 1.06\cdot 10^{-9}\ J - 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot (3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})^2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.10\cdot 10^{-10}\ J}}}" /></p> <br/> c) El momento lineal del protón es función de su masa relavista y la velocidad a la que se mueve: <br/> <br/> <img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/017f0bfd2b7e93ba6706a8c15dc8b30b.png' style="vertical-align:middle;" width="136" height="15" alt="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p = \gamma\cdot m_0\cdot v}}" title="\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p = \gamma\cdot m_0\cdot v}}" /> <br/> <br/> Sustituimos y calculas: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/e5f4d0dcf46fea5a74bd935657916178.png' style="vertical-align:middle;" width="701" height="35" alt="p = 7.09\cdot 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot 0.99\cdot 3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.52\cdot 10^{-18}\ kg\cdot m\cdot s^{-1}}}}" title="p = 7.09\cdot 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot 0.99\cdot 3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.52\cdot 10^{-18}\ kg\cdot m\cdot s^{-1}}}}" /></p> </math></p></div>