EjerciciosFyQ

Velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo (8457)

F_y_Q — 2025-05-08T07:13:33Z

Un móvil describe una trayectoria en el plano XY dada por el vector de posición, expresado en unidades SI:

a) Determina los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.

b) Calcula los vectores velocidad y aceleración en el instante .

c) Halla el módulo de la velocidad y de la aceleración en .

a) Para obtener el vector velocidad tienes que derivar el vector de posición dado, en función del tiempo:

La velocidad es:

La aceleración la obtiene al derivar la velocidad con respecto al tiempo:

La aceleración es:

b) Para obtener los vectores en un instante dado, solo tienes que sustituir el valor en las ecuaciones de cada vector:

c) El cálculo de los módulos lo haces en función de las componentes de cada vector, según la ecuación:

Para la velocidad, como solo hay una componente, el módulo es:

Para la aceleración es:

Posición, velocidad, momento lineal y aceleración del centro de masas de un sistema de dos partículas (8415)

F_y_Q — 2025-03-15T05:19:19Z

Un sistema de dos partículas de masas 2 y 3 kg se mueven en el plano XY. En un instante dado, las posiciones y velocidades de las partículas son:

a) Calcula la posición del centro de masas (CM) del sistema.

b) Determina la velocidad del centro de masas.

c) Calcula el momento lineal total del sistema.

d) Determina el momento angular total del sistema respecto al origen.

e) Si las partículas están sometidas a las fuerzas externas y , calcula la aceleración del centro de masas.

a) La posición del centro de masas la calculas con la expresión:

Sustituyes los valores dados en el enunciado y calculas. Es buena idea hacerlo componente a componente:

b) El cálculo de la velocidad del centro de masas las calculas, de manera análoga al apartado anterior, con la ecuación:

Sustituyes los valores y calculas:

c) El momento lineal total del sistema es:

Sustituyes y calculas:

d) El momento angular total se calcula con la ecuación:

Lo mejor es hacer los productos vectoriales para cada una de las partículas y luego sumarlos.

Primera partícula:

Segunda partícula:

El momento angular total es:

e) Para calcular la aceleración del centro de masas haces el cociente entre la fuerza exterior y la masa total del sistema:

Como son dos las fuerzas externas al sistema, la aceleración es:

Momento de inercia de un sistema de dos esferas unidas por un hilo (8377)

F_y_Q — 2025-01-22T04:22:15Z

Dos masas puntuales y están separadas por una barra sin masa de longitud L:

a) Deduce una expresión para el momento de inercia del sistema, respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por un punto situado a una distancia de la masa .

b) Calcula la variación del momento angular con la distancia y demuestra que es mínima cuando el eje pasa por el centro de masas del sistema.

Hacer un esquema de la situación es muy útil para poder visualizar el sistema:

a) El momento de inercia para un sistema como el de la figura es:

Teniendo en cuenta que está expresado en función de la posición con respecto a la masa 1, la ecuación queda como:

Si agrupas los términos, la expresión que buscas es:

b) Haces la derivada de la expresión anterior con respecto a :

Para que sea un mínimo, esta expresión tiene que ser igual a cero. Igualas a cero y despejas el valor de :

Esta expresión coincide con la del centro de masas del sistemas, si tomas como referencia. En este caso, y la masa se sitúa a una distancia «L»:

Lanzamiento parabólico en un partido entre Brasil y Argentina (6389)

F_y_Q — 2024-09-01T03:28:55Z

En un partido amistoso de fútbol entre Argentina y Brasil, cuando estaban empatados a uno y en el minuto 90, el árbitro pita una falta a favor de Brasil alejada 32 m de la portería. El jugador que la lanza es capaz de imprimir una velocidad de 30 m/s a la pelota y la barrera de los jugadores argentinos, de una altura media de 1.80 m, se sitúa a 12 m del punto de lanzamiento. Determina:

a) ¿Cuál debe ser el ángulo del lanzamiento para colocar el balón en la esquina superior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento?

b) ¿Cuál debe ser el ángulo del lanzamiento para colocar el balón en la esquina inferior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento?

Se trata de un problema de lanzamiento oblicuo y la resolución se va a hacer paso a paso, explicando las aproximaciones necesarias.

a) Colocar el balón en la esquina superior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento.

En primer lugar, debes determinar el ángulo mínimo necesario para que el balón pase por encima de la barrera.

Las ecuaciones del lanzamiento oblicuo son:

El balón pasará la barrera si a la distancia horizontal que está la barrera su altura es mayor que la de la altura media. El tiempo que tarda la pelota es:

Sustituyes en la ecuación de la posición vertical el valor anterior del tiempo:

Para resolver la ecuación anterior puedes hacer dos simplificaciones muy útiles para ángulos pequeños:

Despejando el valor del ángulo obtienes:

Ya tienes el ángulo mínimo para pasar la barrera, pero debes ajustar el ángulo para que el balón llegue a la portería a la altura del travesaño, que en una portería de fútbol está a 2.44 m.

El tiempo para que llegue a la portería es ahora:

Al sustituir en la ecuación de la altura de la pelota, de manera análoga al caso anterior, obtienes la ecuación:

Despejas el valor del ángulo y resuelves:

b) Colocar el balón en la esquina inferior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento.

La condición para superar la barrera es la misma que en el apartado anterior y el ángulo mínimo para ello sigue siendo . Lo único que debes cambiar es la condición que tiene que cumplir la altura de la pelota cuando llegue a la portería: en este caso será que la altura sea cero:

Observa que esta condición ya está incluida en la condición impuesta para que la pelota supere la barrera, con lo que el ángulo será suficiente.

Centro de masas de un sistema formados por dos barras soldadas (8107)

F_y_Q — 2023-12-07T07:12:47Z

Se sueldan, una a continuación de otra, dos varillas homogéneas A y B de la misma longitud «L», pero hechas de dos materiales diferentes, siendo la densidad de A doble que la de B. ¿A qué distancia del extremo de A se encuentra el centro de masas del sistema?

El centro de masas de la barra hecha de A estará a la mitad de la barra, porque se trata de barras homogéneas. Si colocas la barra de B a continuación, el centro de masas de la barra de B estárá a una distancia de tres medios de «L» del extremo de la barra de A. El centro de masas del sistema será:

Como la densidad de A es el doble de la de B y ambas varillas son iguales, la masa de A será el doble que la masa de B:

Centro de masas de la molécula de agua (7880)

F_y_Q — 2023-03-11T07:47:12Z

En la figura puedes ver una versión simplificada de la molécula de agua.

La longitud del enlace es 0.09584 nm y el ángulo de enlace es . El centro de masas de esta molécula, respecto a los ejes dibujados, está en el eje Y siendo el. ¿Cuál es el valor de su coordenada, expresada en nm?

Lo primero que debes hacer es establecer las coordenadas para cada átomo de la molécula. La referencia está tomada en el átomo de oxígeno en la figura dada, por lo tanto O (0,0). Para los hidrógenos debes tener en cuenta el ángulo que forman con el eje vertical, que es la mitad del ángulo formado entre ambos átomos de hidrógeno. El hidrógeno que está a la izquierda, teniendo en cuenta el sentido positivo marcado por las flechas de los ejes, tiene como coordenadas:

Para el hidrógeno que está a la derecha será:

Observa que la componente horizontal para es la misma, pero con signo contrario, para ambos átomos de hidrógeno, por lo que se cumple que el centro de masas solo tendrá componente vertical:

La masa del oxígeno es dieciséis veces mayor que la del hidrógeno, por lo que la ecuación anterior puedes escribirla en función de la masa del hidrógeno y calcular:

Posición del centro de masas en un sistema plano de dos masas (7829)

F_y_Q — 2023-01-20T07:37:47Z

Dos puntos materiales A y B de masas iguales están situados en el plano XY. El punto A viene determinado por un vector de posición cuyo módulo vale 2 y forma un ángulo de con el eje X, mientras que el punto B se puede encontrar en cualquier punto del eje Y. ¿Dónde estará situado el centro de masas?

Lo más indicado es hacer un esquema de la situación que describe el enunciado para. Podría ser de este tipo:

Los vectores de posición de cada masa serán:

Aplicas la ecuación que permite calcular la posición del centro de masas:

La posición del centro de masas es:

Estará situado en una recta paralela al eje Y que corta al eje X en el punto 0.867.

Centro de masas de una distribución de masas en un cuadrado (7828)

F_y_Q — 2023-01-10T08:43:10Z

En los vértices de un cuadrado de lado a se sitúan cuatro masas tal como indica la figura.

Si en medio de la recta que une las masas de 1 kg se sitúa una masa de M kilogramos resulta que el centro de masas del sistema formado está en el centro de dicho cuadrado. ¿Cuál debe ser el valor de la masa M?

Si colocas la masa M en el sistema del enunciado resulta:

El centro de masas (CM) se sitúa en las coordenadas . A partir de la ecuación de la posición del centro de masas:

Si la expresas en función de las coordenadas:

Si tomas la dirección horizontal, por ejemplo, e igualas obtienes:

Dinámica de traslación y rotación en un sistema de cuerpos enlazados (7724)

F_y_Q — 2022-10-28T06:26:54Z

En la figura se muestra un sistema conformado por dos masas colgantes , , dos poleas de radio y masa fijadas en los extremos de la mesa y un disco de radio y masa . Los tres objetos se unen mediante una cuerda que pasa sin deslizarse por las poleas, cuyos ejes carecen de fricción, y se unen al disco por medio de un eje central que le permite rodar libremente sobre una mesa con superficie rugosa. Si el sistema se libera a partir del reposo, halla lo siguiente:

a) El valor de la aceleración del centro de masa del disco.

b) El valor de la rapidez final que alcanza la si recorre 1 m sobre la mesa.

c) El valor de todas las tensiones del sistema.

El diagrama de fuerzas puede ser:

a) Esta aceleración será la aceleración del sistema. Para obtenerla debes aplicar la segunda ley de la dinámica, para la traslación y la rotación, al sistema:

Despejas el valor de la aceleración y sustituyes los datos para calcularla:

b) Una vez que conoces la aceleración, la velocidad final la calculas aplicando la ecuación del MRUA:

Sustituyes y calculas:

c) Aislando los cuerpos uno a uno:

Posición del centro de masas para un sistema con cinco masas puntuales (7754)

F_y_Q — 2022-10-18T07:13:59Z

El centro de masas de un sistema formado por cinco masas puntuales iguales colocadas en la forma que indica la figura está en la bisectriz del ángulo. ¿A qué distancia del vértice se encuentra?

La ecuación para la posición del centro de masas es:

Si tomas como referencia la masa que no está numerada, y tienes en cuenta que las otras cuatro están distribuidas en dos direcciones distintas, puedes concluir que los vectores de posición de cada masa son , , y . Si aplicas la ecuación anterior obtienes:

La distancia entre la masa de referencia y la posición que acabas de calcular es: