EjerciciosFyQ

Análisis de un sistema con tres cargas eléctricas (8637)

F_y_Q — 2026-05-27T04:25:01Z

Tres cargas puntuales están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo en el plano XY: $$$ \text{Q}_1 = +4\ \text{nC}$$$ en el punto A(0, 0) cm, $$$ \text{Q}_2 = –2\ \text{nC}$$$ en el punto B(3, 0) cm, $$$ \text{Q}_3 = +5\ \text{nC}$$$ en el punto C(0, 4) cm.

a) Calcula el vector campo eléctrico total (módulo, dirección y sentido) en el punto P(3, 4) cm.

b) Determina la energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas.

c) Calcula el trabajo que debe realizar un agente externo para traer una cuarta carga $$$ \text{Q}_4 = +1\ \text{nC}$$$ desde el infinito hasta el punto «P», en presencia de las otras tres cargas fijas.

Dato: $$$ \text{K} = 9\cdot 10^9\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2}$$$

Debes tener cuidado con las unidades de distancia porque no están en unidades SI.

a) Para calcular el campo eléctrico total en «P» debes aplicar el principio de superposición:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3}$$$

Necesitas conocer el campo que cada una de las cargas crea en el punto que tienes que considerar:

1. Campo que crea la carga 1 en «P».

La distancia entre los puntos «A» y «P» es:

$$$ \text{d}_{\text{AP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.05\ m}$$$

El vector unitario que contiene la dirección y el sentido del campo eléctrico es:

$$$ \vec{\text{u}}_1 = \dfrac{0.03}{0.05}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0.04}{0.05}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_1 = 0.6\ \vec{\text{i}} + 0.8\ \vec{\text{j}}$$$

El módulo del campo es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_1 = K\dfrac{\lvert Q_1\rvert}{d_{AP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{4\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.05^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 1.44\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

El vector del campo eléctrico de la primera carga en el punto «P» lo obtienes al multiplicar el módulo calculado por el vector unitario:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_1 = E_1\cdot \vec{u}_1}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_1 = 8\ 640\ \vec{i} + 11\ 520\ \vec{j}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

2. Campo que crea la carga 2 en «P»:

De manera análoga al caso de la carga 1 haces la distancia entre los puntos «B» y «P», el vector unitario y el módulo del campo:

$$$ \text{d}_{\text{BP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0.03)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.04\ m}$$$

$$$ \vec{\text{u}}_2 = \dfrac{0}{0.04}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0.04}{0.04}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_2 = \vec{\text{j}}$$$

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_2 = K\dfrac{\lvert Q_2\rvert}{d_{BP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{2\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.04^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 1.125\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

Multiplicas el módulo por el vector unitario para obtener el vector del campo eléctrico. Recuerda que ahora sí que debes tener en cuenta el signo de la carga:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_2 = E_2\cdot \vec{u}_2}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_2 = - 11\ 250\ \vec{j}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

3) Campo que crea la carga 3 en «P»: Vuelves a hacer lo mismo para la carga 3; distancia, vector unitario y módulo:

$$$ \text{d}_{\text{CP}} = \sqrt{\left[(0.03 - 0)^2 + (0.04 - 0.04)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.03\ m}$$$

$$$ \vec{\text{u}}_3 = \dfrac{0.03}{0.03}\ \vec{\text{i}} + \dfrac{0}{0.03}\ \vec{\text{j}}\ \to\ \vec{\text{u}}_3 = \vec{\text{i}}$$$

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_3 = K\dfrac{\lvert Q_3\rvert}{d_{CP}^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{C}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{5\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}}{0.03^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{royalblue}{\bf 5\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}$$$

Multiplicas el módulo por el vector unitario para obtener el vector del campo eléctrico:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{E}_3 = E_3\cdot \vec{u}_3}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \vec{E}_3 = 50\ 000\ \vec{i}\ (N\cdot C^{-1})}$$$

El campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos que has calculado:

$$$ \vec{\text{E}}_\text{P} = (8\ 640 + 50\ 000)\ \vec{\text{i}} + (11\ 530 - 11\ 250)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \vec{E}_P = 58\ 640\ \vec{i} + 270\ \vec{j}}}$$$

El módulo del vector es:

$$$ \text{E}_\text{P} = \sqrt{(58\ 640^2 + 270^2)\ \text{m}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 58\ 641\ N\cdot C^{-1}}}$$$

La dirección la obtienes a partir de la tangente del ángulo entre sus componentes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{tg\ \theta = \dfrac{E_{T_y}}{E_{T_x}}}}\ \to\ \theta = \text{arctg}\ \left(\dfrac{270}{58\ 640}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.26^o\ (\text{sobre el eje X, hacia la derecha})}}$$$

b) La energía electrostática total es la suma de las energías potenciales de cada par de cargas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf U = K\left( \dfrac{Q_1\cdot Q_2}{d_{AB}} + \dfrac{Q_1\cdot Q_3}{d_{AC}} + \dfrac{Q_2\cdot Q_3}{d_{BC}}\right)}$$$

Las distancias entre los puntos son:

$$$ \text{d}_{\text{AB}} = \sqrt{[\left[(0.03 - 0)^2 + (0 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.03\ m}$$$
$$$ \text{d}_{\text{AC}} = \sqrt{[\left[(0 - 0)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.04\ m}$$$
$$$ \text{d}_{\text{BC}} = \sqrt{[\left[(0 - 0.03)^2 + (0.04 - 0)^2\right]\ \text{m}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.05\ m}$$$

Sustituyes en la ecuación de la energía potencial electrostática, pero debes prestar atención a los signos de las cargas porque los debes considerar:

$$$ \require{cancel} \text{U} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\ \left[ \dfrac{4\cdot10^{-9}\cdot (-2\cdot 10^{-9})}{0.03} + \dfrac{4\cdot 10^{-9}\cdot 5\cdot 10^{-9}}{0.04} + \dfrac{(-2\cdot 10^{-9})\cdot 5\cdot 10^{-9})}{0.05} \right]\ \dfrac{\cancel{\text{C}^2}}{\cancel{\text{m}}}$$$

Cuando haces la operación, y tienes en cuenta las unidades resultantes, obtienes como resultado:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf U = 3\cdot 10^{-7}\ J}}$$$

c) Para poder calcular el trabajo para el traslado de la carga 4, necesitas conocer el potencial eléctrico en «P»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf V_P = K\left( \dfrac{Q_1}{d_{AP}} + \dfrac{Q_2}{d_{BP}} + \dfrac{Q_3}{d_{CP}} \right)}$$$

Ya conoces las distancias que aparecen en la ecuación, por lo que solo tienes que sustituir y calcular:

$$$ \require{cancel} \text{V}_\text{P} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\text{C}\cancel{^2}} \left( \dfrac{+4\cdot 10^{-9}}{0.05} + \dfrac{-2\cdot 10^{-9}}{0.04} + \dfrac{+5\cdot 10^{-9}}{0.03} \right)\ \dfrac{\cancel{\text{C}}}{\cancel{\text{m}}} = \color{royalblue}{\bf 1\ 770\ V}$$$

El trabajo externo es el producto de este potencial por la carga que se traslada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{W_{ext} = Q_4\cdot V_P}} = 10^{-9}\ \text{C}\cdot 1\ 770\ \text{V} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.77\cdot 10^{-6}\ J}}$$$

Seguridad de un sistema de carga por inducción para un implante de neuroestimulación (8632)

F_y_Q — 2026-05-13T08:33:41Z

Seguro que te resulta familiar la tecnología de carga «sin cable» de los móviles, es decir, dejando el aparato sobre una base que lo carga solo por contacto con ella. Esta tecnología se aplica a otros dispositivos médicos que son implantados en el cuerpo, como los neuroestimuladores para el tratamiento del dolor crónico o los marcapasos para controlar el ritmo cardíaco. Se recargan mediante inducción magnética desde el exterior, colocando una bobina externa (emisora), por la que circula una corriente alterna, sobre la piel del paciente, justo encima de donde se encuentra el implante (bobina receptora). Sin embargo, la normativa de seguridad ICNIRP, siglas en inglés de la Comisión Internacional de Protección contra Radiaciones No Ionizantes, establece que, para evitar daños en las células de los tejidos del paciente por calentamiento o corrientes parásitas, el campo magnético en el tejido no debe superar ciertos umbrales de seguridad.

A una señora se le implanta un neuroestimulador para controlar el dolor crónico en la zona lumbar a una profundidad de 1.5 cm bajo la piel. El aparato tiene una bobina de 400 espiras de 0.8 cm de radio y una resistencia interna de $$$ 25\ \Omega$$$. Para cargar el implante se dispone de un cargador magnético con una bobina de 50 espiras y 2.5 cm de radio por la que circula una corriente eléctrica alterna de intensidad $$$ \text{I}(t) = 0.03\cdot \text{sen}\ (10^5\pi t)\ (\text{A})$$$. Si el campo magnético máximo que permite la norma ICNIRP para frecuencias de 50 kHz es de $$$ 27\ \mu T$$$:

a) Calcula el valor máximo del campo magnético ($$$ \text{B}_{\text{máx}}$$$) en el centro de la bobina del implante. Determina si el dispositivo cumple con la normativa ICNIRP.

b) Obtén la expresión de la fuerza electromotriz inducida en el implante. ¿Cómo afecta al voltaje obtenido el hecho de tener 400 espiras en lugar de una sola espira?

c) Si la potencia necesaria para cargar la batería del implante es de 5 mW, calcula la potencia media que este sistema entrega a la resistencia del circuito, a partir del valor de la fem eficaz. ¿Es suficiente para cargar el dispositivo?

Dato: $$$ \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \text{m}\cdot \text{A}^{-1}$$$

a) La ecuación para calcular el campo magnético en el eje de la bobina de implante es la de una espira circular, pero multiplicada por el número de espiras de la bobina. Si necesitas repasar cómo se obtiene esta ecuación, a partir de la ley de Biot-Savart, puedes hacerlo viendo este vídeo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf B = N_1\cdot \dfrac{\mu_0\cdot I\cdot R_1^2}{2(R_1^2 + z^2)^{3/2}}}$$$

Debes tener mucho cuidado con la unidades al sustituir en la ecuación, siendo lo ideal que expreses todos los datos en unidades SI. El campo magnético será máximo cuando lo sea la intensidad de la corriente, es decir, cuando I = 0.03 A:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 50\cdot \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{A}^{-1}}\cdot 0.03\ \cancel{\text{A}}\cdot (2.5\cdot 10^2)^2\ \cancel{\text{m}^2}}{2\big[(2.5\cdot 10^2)^2 + (1.5\cdot 10^2)^2\big]^{3/2}\ \cancel{\text{m}^3}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.38\cdot 10^{-5}\ T}}$$$

Debes hacer la conversión del resultado a la unidad de referencia de la norma, para poder hacer la comparación:

$$$ \require{cancel} \text{B}_{\text{máx}} = 2.38\cdot 10^{-5}\ \cancel{\text{T}}\cdot \dfrac{1\ \mu\ \text{T}}{10^{-6}\ \cancel{\text{T}}} = \color{royalblue}{\bf 23.8\ \mu\ T}$$$

Como el valor obtenido es menor que el límite que impone la norma ICNIRP, el dispositivo cumple con la normativa de seguridad para esa profundidad y corriente.

b) Según la ley de Faraday-Lenz, la fem inducida es la variación temporal del flujo magnético total. El flujo a través de las espiras del implante, si supones que el campo magnético es uniforme en su sección, ($$$ \text{S}_2 = \pi\cdot \text{R}_2^2$$$) es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = N_2\cdot B(t)\cdot S_2}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \Phi(\text{t}) = 400\cdot [2.38\cdot 10^{-5}\cdot \text{sen}(10^5\pi t)\ \text{T}]\cdot (\pi\cdot (8\cdot 10^{-3})^2)\ \text{m}^2 = \color{royalblue}{\bf 1.91\cdot 10^{-6}\cdot sen(10^5\pi t)\ Wb}$$$

Derivas la expresión anterior con respecto al tiempo para obtener la fem:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon(t) = - \dfrac{d\Phi}{dt}}} = - 1.91 \cdot 10^{-6}\cdot 10^5\pi\cdot \text{cos}\ (10^5\pi \text{t})\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = -0.6\cdot cos\ (10^5\pi t)\ V}}$$$

El voltaje obtenido es directamente proporcional al número de espiras del receptor. Si el implante tuviera una sola espira, la fem máxima sería de apenas $$$ 1.5\cdot 10^{-3}\ \text{V}$$$, un valor insuficiente para cargar cualquier batería.

c) La potencia media se define en función de la fem eficaz, por lo que antes debes calcularla:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{\varepsilon_{\text{máx}}}{\sqrt{2}}}} = \dfrac{0.60\ \text{V}}{\sqrt{2}} = \color{royalblue}{\bf 0.424\ V}$$$

La potencia media disipada en la resistencia interna es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{P{m} = \dfrac{\varepsilon_{ef}^2}{R_{int}}}} = \dfrac{0.424^2\ \text{V}^2}{25\ \Omega} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.2\cdot 10^{-3}\ W}}$$$

Puedes expresar el resultado obtenido como 7.2 mW, que es un valor mayor que los 5 mW requeridos por el dispositivo implantado, por lo que sí se cargará correctamente y con seguridad.

Velocidad mínima de un saque de tenis para pasar la red (1224)

F_y_Q — 2026-05-09T03:47:53Z

Un jugador de tenis hace un servicio golpeando la pelota horizontalmente a una altura de 2.15 m. Si la red está a 13 m de distancia y esta tiene una altura de 90 cm:

a) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima requerida para que la pelota pase justo por encima de la red?

b) ¿Dónde tocará el suelo en ese caso?

Puedes empezar el problema haciendo un esquema de la situación, colocando los datos iniciales y aquello que necesitas calcular. Este modo de hacerlo te permite aclarar las ideas y te ayuda a trazar la estrategia para resolverlo.

Se trata de un movimiento horizontal en el que la única aceleración, si no consideramos rozamientos, es la gravedad.

a) Como conoces la altura de la red y la altura desde la que se golpea la pelota, puedes calcular el tiempo que tardará la bola en llegar a la red usando la ecuación de la posición vertical de la pelota:

$$$ \text{y} = \text{h}_0 - \dfrac{\text{g}}{2}\text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t = \sqrt{\dfrac{2(h_0 - y)}{g}}} \quad [1]$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{t} = \sqrt{\dfrac{2(2.15 - 0.9)\ \cancel{\text{m}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 0.51\ s}$$$

Sustituyes este valor del tiempo en la ecuación de la posición horizontal de la pelota y le pones la condición de la distancia a la que se encuentra la red:

$$$ \text{x} = \text{v}_0\cdot \text{t}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{v_0 = \dfrac{x}{t}}} = \dfrac{13\ \text{m}}{0.51\ \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 25.5\ m\cdot s^{-1}}}$$$

b) Cuando la bola toque el suelo su altura será cero, por lo que puedes imponer esa condición en la ecuación [1] para calcular el tiempo que estará la pelota en el aire:

$$$ \require{cancel} \text{t}_\text{v} = \sqrt{\dfrac{2(2.15 - 0)\ \cancel{\text{m}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 0.66\ s}$$$

La distancia horizontal que recorre la pelota es:

$$$ \require{cancel} \text{d} = \text{v}_0\cdot \text{t} = 25.5\ \dfrac{m}{\cancel{\text{s}}}\cdot 0.66\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 16.8\ m}}$$$

Velocidad de lanzamiento a canasta para encestar desde muy lejos (1219)

F_y_Q — 2026-05-07T05:40:16Z

Un jugador de baloncesto se sitúa a 14 m de la canasta. Desde allí lanza un tiro, liberando el balón a una altura de 2.20 m y con un ángulo de por encima de la horizontal. Si desde el piso hasta la canasta hay 3.05 m, ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del balón para encestar sin tocar el tablero?

El problema es un lanzamiento parabólico clásico, aunque con algunas características curiosas: el balón sale desde una altura de 2.20 m, debe subir solo 0.85 m más, pero recorriendo 14 m en horizontal con un ángulo pequeño (30º). Esto hace que la velocidad inicial debe ser alta.

El esquema que ilustra la situación es este:

Las ecuaciones del lanzamiento parabólico para la velocidad y la posición del balón son:

Dirección horizontal.
Velocidad: $$$ \color{forestgreen}{\bf v_x = v_{0x} = v_0\cdot cos\ \theta}$$$
Posición: $$$ \color{forestgreen}{\bf x = x_0 + v_0\cdot t\cdot cos\ \theta}$$$

Dirección vertical.
Velocidad: $$$ \color{forestgreen}{\bf v_y = v_{0y}\cdot sen\ \theta - gt}$$$
Posición: $$$ \color{forestgreen}{\bf y = y_0 + v_0\cdot t\cdot sen\ \theta - \dfrac{g}{2}\cdot t^2}$$$

Como conoces la distancia que debe recorrer la pelota hasta llegar a la canasta puedes despejar el tiempo en la ecuación de la posición horizontal y sustituirlo en la ecuación de la posición vertical:

$$$ \color{royalblue}{\bf{t_v = \dfrac{x}{v_0\cdot cos\ 30^o}}}\ \to\ \text{y} = \text{y}_0 + \text{x}\cdot \text{tg}\ \theta - \dfrac{\text{g}\cdot \text{x}^2}{2\text{v}_0^2\cdot \text{cos}^2\ \theta}$$$

Despejas el valor de la velocidad inicial y obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v_0 = \sqrt{\dfrac{g x^2}{2\cdot cos^2\theta \, \big( y_0 + x\cdot tg\ \theta - y \big)}}}$$$

Sustituyes los datos del diagrama y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{v}_0 = \sqrt{\dfrac{9.8\ \dfrac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}^2}\cdot 14^2\ \text{m}^2}{2\cdot \text{cos}^2\ 30^o \, \big(2.2\ \cancel{\text{m}} + 14\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{tg}\ 30^o - 3.05\ \cancel{\text{m}} \big)}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 13.3\ m\cdot s^{-1}}}$$$

Es un tiro desde casi media pista, por eso necesita tanta velocidad inicial, siendo un ángulo tan bajo.

Lanzamiento parabólico desde lo alto de una torre de altura desconocida (1217)

F_y_Q — 2026-05-04T04:22:37Z

Desde lo alto de una torre se lanza una pelota con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de elevación de 53º. Si la pelota golpea el suelo en un punto que dista 300 m de la base de la torre, determina:

a) La altura máxima alcanzada por la pelota por encima del suelo.

b) La altura de la torre.

La situación que describe el enunciado se corresponde con un movimiento parabólico. Para resolverlo, tendrás que descomponer el movimiento en sus componentes horizontal y vertical.

Componentes de la velocidad inicial.

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v_{0x} = v_0\cdot cos\ \alpha}} = 50\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}\cdot \text{cos}\ 53^o = \color{royalblue}{\bf 30\ m\cdot s^{-1}}$$$
$$$ \color{forestgreen}{\bf{v_{0y} = v_0\cdot sen\ \alpha}} = 50\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}\cdot \text{sen}\ 53^o = \color{royalblue}{\bf 40\ m\cdot s^{-1}}$$$

b) Lo más simple es empezar por el cálculo de la altura de la torre, a partir del dato del alcance de la pelota. Dado que la velocidad es constante en la dirección horizontal, la ecuación de la posición en esa dirección sigue un MRU y puedes calcular el tiempo que está en el aire la pelota:

$$$ \require{cancel} \text{x} = \text{v}_{0\text{x}}\cdot \text{t}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{t = \dfrac{x}{v_{0x}}}} = \dfrac{300\ \cancel{\text{m}}}{30\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 10\ s}$$$

Si sustituyes el tiempo que has calculado en la ecuación de la posición vertical de la pelota podrás averiguar la altura de la torre. Eso sí, para poder hacerlo tienes que tomar la referencia en el suelo e imponer la condición de que la posición es cero cuando el tiempo es 10 s:

$$$ \require{cancel} \cancelto{0}{\text{y}} = \text{h}_0 + \text{v}_{0\text{y}}\cdot \text{t} - \dfrac{\text{g}}{2}\cdot \text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h_0 = \dfrac{g}{2}\cdot t^2 - v_{0y}\cdot t}$$$

Sustituyes en la ecuación el valor del tiempo impuesto y calculas:

$$$ \require{cancel} h_0 = \dfrac{10}{2}\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot 10^2\ \cancel{\text{s}^2} - 40\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 10\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 100\ m}}$$$

a) La pelota ascenderá mientras la componente vertical de la velocidad inicial sea positiva. Al llegar a cero será cuando deje de subir y comenzará a descender, momento en el que ha alcanzado la altura máxima. Como la componente vertical de la velocidad está sometida a la aceleración de la gravedad, se trata de un MRUA. Puedes usar la ecuación que relaciona las velocidades inicial y final con la distancia:

$$$ \require{cancel} \cancelto{0}{\text{v}_\text{y}^2} = \text{v}_{0\text{y}}^2 - 2\text{g}\cdot \text{h}^{\prime}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h^{\prime} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}}$$$

Sustituyes los valores y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{h}^{\prime} = \dfrac{40^2\ \text{m}\cancel{^2}\cdot \cancel{\text{s}^{-2}}}{2\cdot 10\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 80\ m}$$$

La altura máxima que alcanza la pelota será la suma de la altura que acabas de calcular y la altura desde la que se lanzó, es decir, la altura de la torre:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{h_{máx} = h_0 + h^{\prime}}}\ \to\ \text{h}_{\text{máx}} = (100 + 80)\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 180\ m}}$$$

Posición y tamaño de la imagen en un espejo convexo (986)

F_y_Q — 2026-04-23T08:02:03Z

Se coloca un objeto de 1.25 cm de altura a 27 cm de un espejo esférico convexo cuyo radio de curvatura es 18 cm. Determina la posición y las características de la imagen.

Para resolver el problema es necesario sigas pasos ordenados y claros.

1. Análisis de la situación descrita en el enunciado y extracción de datos.

En este problema tienes que analizar un espejo convexo para hallar la posición de la imagen y definir sus propiedades físicas a partir de un objeto situado frente a él.
Los datos del problema, siguiendo el criterio de signos DIN, son:

Altura del objeto: $$$ \color{royalblue}{\bf y = 1.25\ cm}$$$
Distancia del objeto: $$$ \color{royalblue}{\bf s= -27\ cm}$$$
Radio de curvatura: $$$ \color{royalblue}{\bf R = 18\ cm}$$$

Debes tener mucho cuidado con la asignación de los signos porque, equivocarte en el signo de «s» o «R», implica obtener una imagen resultante completamente equivocada.

2. Cálculo de la posición de la imagen.

Puedes hacer el cálculo a partir de la ecuación fundamental de los espejos esféricos, que relaciona las distancias del objeto y la imagen con el radio de curvatura del espejo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} = \dfrac{2}{R}}$$$

Tienes que despejar el valor de «s'» y calcular:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \dfrac{1}{s'} = \dfrac{2}{R} - \dfrac{1}{s}}\ \to\ \dfrac{1}{\text{s}'} = \dfrac{2}{18\ \text{cm}} - \left(\dfrac{1}{-27\ \text{cm}}\right)\ \to\ \dfrac{1}{\text{s}'} = \color{royalblue}{\bf \dfrac{4}{27}\ cm^{-1}}$$$

Tienes que hacer la inversa del resultado anterior:

$$$ \text{s}' = \dfrac{27}{4}\ \text{cm} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.75\ cm}}$$$

El valor positivo para la distancia a la imagen te ofrece una información vital: la imagen se forma en el lado derecho del espejo.

3. Cálculo del tamaño de la imagen.

Para hacer este cálculo empleas el concepto de aumento lateral, cuya fórmula vincula las alturas del objeto y la imagen con sus distancias al vértice óptico:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A_L = \dfrac{y'}{y} = -\dfrac{s'}{s}}$$$

Despejas el valor de «y'», sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel}\color{forestgreen}{\bf{y' = y \cdot \left(-\dfrac{s'}{s}\right)}}\ \to\ \text{y}' = 1.25\ \text{cm}\cdot \left(-\dfrac{6.75\ \cancel{\text{cm}}}{-27\ \cancel{\text{cm}}}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.31\ cm}}$$$

Dado que la posición de la imagen es a la derecha del espejo, la imagen es virtual. Como el tamaño de la imagen es positivo es una imagen derecha y, por ser menor el valor del tamaño de la imagen es una imagen menor. Estos resultados son coherentes con lo esperado para un espejo convexo, en el que las imágenes que se obtienen son virtuales, derechas y menores.

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Ecuación del movimiento armónico simple de una partícula (810)

F_y_Q — 2026-03-31T04:42:59Z

Un partícula se mueve con MAS entre dos puntos distantes entre sí 20 cm y realiza 4 vibraciones en un segundo. Si la partícula, en el instante t = 0, se encuentra en la posición x = A/2 y se dirige hacia el extremo (+), calcula:

a) La ecuación del movimiento.

b) En qué instante pasa por primera vez por la posición de equilibrio.

a) $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf x = 0.1\cdot sen(8\pi\ t + \frac{\pi}{6})}}$$$
b) $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf t = \dfrac{5}{48}\ s}}$$$

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Energía y velocidad de un protón sometido a un campo eléctrico (898)

F_y_Q — 2026-03-22T08:16:21Z

Se libera desde el reposo un protón en un campo eléctrico uniforme $$$ 5\cdot 10^3\ \text{N}\cdot \text{C}^{-1}$$$ con dirección horizontal y sentido positivo hacia la derecha. El protón se desplaza una distancia de 20 cm en la dirección y sentido del campo. Determina:

a) La diferencia de potencial entre los extremos de su desplazamiento.

b) La variación de la energía potencial.

c) La velocidad que llevará el protón al final de su desplazamiento.

Datos: $$$ \text{q}_\text{p} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$; $$$ \text{m}_\text{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$

a) $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Delta V = -10^3\ V}}$$$
b) $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Delta U = -1.6\cdot 10^{-16}\ J}}$$$
c) $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_B = 4.38\cdot 10^5\ m\cdot s^{-1}}}$$$

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Estudio analítico de un aerogenerador doméstico (8583)

F_y_Q — 2025-12-21T04:57:26Z

Un prototipo de aerogenerador para uso doméstico consta de una bobina plana de 200 espiras cuadradas de lado «a = 5 cm». La bobina gira con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme «B» generado por imanes permanentes. Una de las técnicas del equipo conecta un sistema de adquisición de datos y obtiene la siguiente gráfica del flujo magnético, $$$ \Phi$$$, que atraviesa la bobina en función del tiempo:

a) A partir de la información de la gráfica: i) determina el valor del campo magnético si el plano de la bobina es perpendicular a las líneas de campo cuando «t = 0», ii) calcula la frecuencia de giro del aerogenerador, expresada en hercios y iii) escribe la ecuación del flujo magnético en función del tiempo.

b) Representa esquemáticamente cómo sería la gráfica de la «fem» inducida en el mismo intervalo de tiempo de la gráfica dada y justifica razonadamente, basándote en la ley de Faraday, por qué los máximos de la «fem» coinciden con los momentos en que el flujo es cero.

c) Si las condiciones de viento provocasen que la velocidad de giro se duplicase: i) ¿cómo afectaría este cambio al valor máximo de la «fem» inducida? ii) ¿Qué ocurriría con el periodo de la señal? iii) Justifica si este aumento de velocidad mejora o empeora la eficiencia del dispositivo para cargar una batería.

a) Dado que la bobina tiene 200 espiras, el flujo magnético es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = N\cdot B\cdot S\cdot cos\ (\omega\cdot t)}\ \ (\text{Ec}.\ 1)$$$

i) El valor de flujo máximo se corresponde con la ecuación anterior, para un valor del coseno de la unidad, por lo que el flujo máximo es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi_{max} = N\cdot B\cdot S}$$$

Despejas el valor del campo, sustituyes y calculas. El valor del flujo máximo lo extraes de la gráfica dada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{B = \dfrac{\Phi_{max}}{N\cdot S}}}\ \to\ \text{B} = \dfrac{0.01\ \text{Wb}}{200\cdot 0.05^2\ \text{m}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.02\ T}}$$$

ii) A partir de la gráfica puedes ver que el periodo es 0.2 s. La frecuencia es la inversa del periodo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{f = \dfrac{1}{T}}}\ \to\ f = \dfrac{1}{0.2\ \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5\ Hz}}$$$

iii) Para escribir la ecuación del flujo magnético necesitas conocer el valor de la velocidad de giro de la bobina:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\omega = 2\pi\cdot f}}\ \to\ \omega = 2\pi\cdot 5\ \text{s}^{-1} = \color{royalblue}{\bf 10\pi\ rad\cdot s^{-1}}$$$

La ecuación del flujo magnético, en función de todos los parámetros calculados y obtenidos de la gráfica es:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = 0.01\cdot cos\ (10\pi\cdot t)\ (Wb)}}$$$

b) La ley de Faraday explica que la «fem» inducida depende de la variación de flujo, según la expresión:

$$$ \varepsilon = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}}\ \to\ \varepsilon = 0.01\cdot 10\pi\cdot \text{sen}\ (10\pi\cdot \text{t})\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = 0.1\pi\cdot sen\ (10\pi\cdot t)}$$$

La clave para hacer la representación está en comprender que para «t = 0» el flujo es máximo y la «fem» será, por lo tanto, nula. De manera análoga, para «t = 0.05 s» el flujo es nulo, pero la pendiente de la función es máxima, con valor negativo, por lo que se corresponde con el valor máximo de la «fem». La gráfica pedida es:

c) Si escribes la ecuación de la «fem» en función de la (Ec. 1) puedes ver la relación de esta con el valor de la velocidad de giro:

$$$ \varepsilon = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}} = -\dfrac{\text{N}\cdot \text{B}\cdot \text{S}\cdot \text{cos}\ (\omega\cdot \text{t})}{\text{dt}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = N\cdot B\cdot S\cdot \omega\cdot sen\ (\omega\cdot t)}$$$

i) El valor máximo de la «fem» coincide con:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon_{\text{máx}} = N\cdot B\cdot S\cdot \omega}}$$$

Como puedes ver, si se duplica el valor de la velocidad de giro se duplica también el valor de la «fem» máxima.

ii) La relación entre el periodo y la velocidad de giro es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf T = \dfrac{2\pi}{\omega}}$$$

Si se duplica la velocidad de giro se reduce a la mitad el periodo.

iii) El aumento de la velocidad de giro provocaría un aumento de la energía del sistema, que depende del valor de la «fem» al cuadrado, además de hacer que los ciclos de carga se reduzcan a la mitad, por lo que habría el doble de ciclos de carga para un mismo tiempo. En conclusión, el aumento de la velocidad de giro mejoraría la eficiencia del dispositivo.

Diseño de un freno de emergencia electromagnético para un camión (8582)

F_y_Q — 2025-12-18T16:29:48Z

Un equipo de ingeniería está diseñando un sistema de frenado regenerativo por inducción para evitar el sobrecalentamiento de los frenos de disco mecánicos en descensos prolongados. El sistema consta de dos partes:

1. Un generador de emergencia para alimentar los sensores que está formado por una espira cuadrada, de lado «a = 10 cm», que gira en un campo magnético uniforme de «B = 0.5 T» y orientado según el eje Z positivo. La espira gira alrededor del eje X, con una velocidad angular constante e igual a $$$ \omega = 100\pi\ \text{rad}\cdot \text{s}^{-1}$$$. La espira es perpendicular al campo magnético para el instante «t = 0 s».

2. Un disco conductor que, al activar el freno, atraviesa el campo magnético para reducir la velocidad sin contacto físico, es decir, actuando como un freno electromagnético.

Considerando una sección radial del disco como una varilla conductora de longitud «L = 20 cm» que gira a la misma velocidad angular que el generador:

a) Obtén la expresión matemática del flujo magnético en función del tiempo, $$$ \Phi(t)$$$, a través de la espira y calcula el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en dicha espira.

b) Explica, basándote en las leyes de la inducción, por qué la conductividad eléctrica del material del disco es crucial para la seguridad del camión. ¿Qué ocurriría si el disco se fabricara con un material aislante? Justifica tu respuesta relacionando los conceptos de corrientes inducidas y fuerzas magnéticas.

c) Calcula la diferencia de potencial que se genera entre el centro y el extremo del disco.

a) El flujo magnético se define según la expresión:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos\ \theta}$$$

La superficie de la espira es:

$$$ \text{S} = \text{a}^2 = 0.1^2\ \text{m}^2 = \color{royalblue}{\bf 0.01\ m^2}$$$

Como para «t = 0» el plano de la espira es perpendicular a $$$ \vec{B}$$$, el ángulo inicial entre el vector superficie y el campo es cero. Como gira con velocidad angular constante, el ángulo varía con el tiempo de la forma:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \theta = \omega \cdot t}$$$

La ecuación del flujo magnético, en función del tiempo, es:

$$$ \Phi(\text{t}) = 0.5 \cdot 0.01 \cdot \text{cos}\ (100\pi\cdot \text{t})\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = 5 \cdot 10^{-3} cos\ (100\pi\cdot t)\ Wb}}$$$

Según la Ley de Faraday, la «fem» depende de la variación del flujo y su ecuación es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = -\dfrac{\Phi}{dt}}$$$

Si sustituyes el valor del flujo que has obtenido antes, la «fem» es:

$$$ \varepsilon(\text{t}) = - (5\cdot 10^{-3})\cdot (-100\pi)\cdot \text{sen}\ (100\pi\cdot t) = \color{royalblue}{\bf 0.5\pi\ sen\ (100\pi\cdot t)\ V}$$$

El valor de la «fem» será máximo cuando la función trigonométrica sea uno, es decir:

$$$ \varepsilon_{\text{máx}} = 0.5\pi\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon_{\text{máx}} = 1.57\ V}}$$$

b) Para que el camión frene, es necesaria una fuerza que se oponga al movimiento. El movimiento del disco en el campo magnético induce corrientes circulares en su interior, corrientes de Foucault, según la ley de Faraday-Lenz. El campo magnético ejerce una fuerza sobre estas corrientes inducidas que se opone opone al movimiento del disco, lo que genera un par de fuerzas que consigue frenar el camión. La fuera del campo magnético la puedes calcular a partir de la ecuación de Lorentz:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{F} = q(\vec{v}\times \vec{B}})$$$

Si el disco estuviera hecho de un material aislante no habría movimiento de cargas libres, por lo que no habría corriente inducida y la fuerza magnética de frenado sería cero. En ese caso, el sistema sería totalmente inútil para la seguridad del vehículo. Que el material del disco tenga una alta conductividad es esencial para permitir corrientes inducidas intensas, dando lugar entonces a fuerzas de frenado potentes.

c) La diferencia de potencial en el disco la puedes calcular a partir de la ecuación de la «fem» para un conductor lineal que rota:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = \int_0^L (\vec{v}\times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = \int_0^L (\omega\cdot r\cdot B)\ dr = \dfrac{1}{2} B\cdot \omega\cdot L^2}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \varepsilon = \dfrac{1}{2} \cdot 0.5\ \text{T}\cdot 100\pi\ \text{s}^{-1}\cdot 0.2^2\ \text{m}^2\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon = \pi\ V}}$$$