PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque D - cuestión a2 (8653)

, por F_y_Q

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Un protón tiene una masa 1.9 veces mayor que la de un mesón «K». Razona: i) si tuviesen la misma longitud de onda asociada de De Broglie, ¿cuál de ellos tendría menor velocidad?; ii) si tuviesen la misma velocidad, ¿cuál de ellos tendría menor longitud de onda asociada?

P.-S.

Para resolver este ejercicio es necesario tener clara la hipótesis de De Broglie, llamada dualidad onda-corpúculo. Según su ecuación, toda partícula de masa «m» que se mueve con una velocidad «v» tiene una onda asociada cuya longitud de onda se puede calcular:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{h}{m\cdot v}} \quad (1)$$$

«h» es la constante de Planck.

En el enunciado se indica la relación entre las masas del protón ($m_p$) y del mesón «K», que será importante tener en cuenta:

$$$ \color{royalblue}{\bf m_p = 1.9\cdot m_K}$$$

i) Si supones que ambas partículas tienen la misma longitud de onda, dado que sus masas son distintas, también lo tienen que ser sus velocidades. Puedes escribir las velocidades de cada partícula si despejas de la ecuación (1):

$$$ \require{cancel} \left. \begin{aligned} &\color{forestgreen}{\bf v_p = \dfrac{h}{1.9m_K\cdot \lambda}} \\ &\color{forestgreen}{\bf v_K = \dfrac{h}{m_K\cdot \lambda}} \end{aligned} \right \}\ \longrightarrow\ \dfrac{\text{v}_\text{p}}{\text{v}_\text{K}} = \dfrac{\dfrac{\cancel{\text{h}}}{1.9\ \cancel{\text{m}_\text{K}}\cdot \cancel{\lambda}}}{\dfrac{\cancel{\text{h}}}{\cancel{\text{m}_\text{K}}\cdot \cancel{\lambda}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_p = \dfrac{v_K}{1.9}}}$$$



Como puedes ver, el protón tendrá la menor velocidad.

ii) Para responder a esta cuestión solo tienes que volver a la ecuación (1). La longitud de onda es inversamente proporcional a la masa y la velocidad de la partícula. Como ambas partículas tendrían la misma velocidad, sus longitudes de onda solo dependerían de sus masas. Puedes hacer un razonamiento análogo al caso anterior:

$$$ \require{cancel} \left. \begin{aligned} &\color{forestgreen}{\bf \lambda_p = \dfrac{h}{1.9m_K\cdot v}} \\ &\color{forestgreen}{\bf \lambda_K = \dfrac{h}{m_K\cdot v}} \end{aligned} \right \}\ \longrightarrow\ \dfrac{\lambda_\text{p}}{\lambda_\text{K}} = \dfrac{\dfrac{\cancel{\text{h}}}{1.9\ \cancel{\text{m}_\text{K}}\cdot \cancel{\text{v}}}}{\dfrac{\cancel{\text{h}}}{\cancel{\text{m}_\text{K}}\cdot \cancel{\text{v}}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \lambda_p = \dfrac{\lambda_K}{1.9}}}$$$



El protón será quien tenga la menor longitud de onda asociada.

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