PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 2B (8705)

, por F_y_Q

|

Dos masas puntuales, $$$ \text{m}_1 = 2\ \text{kg}$$$ y $$$ \text{m}_2 = 4\ \text{kg}$$$ están situadas en el origen de coordenadas y en el punto (4, 0) m del plano «XY», respectivamente. Calcula:

a) El punto del eje X entre ambas masas en el que el campo gravitatorio creado por las dos masas es nulo.

b) El campo gravitatorio total debido a ambas masas en el punto (0, 2) m.

Dato: $$$ \text{G} = 6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}$$$.

P.-S.

a) El campo gravitatorio creado por una masa puntual «m» a una distancia «d» viene dado por la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{g} = -G\cdot \dfrac{m}{r^3}\ \vec{r}}$$$

Tienes que considerar un punto P(x, 0) entre ambas masas, donde 0 < x < 4. La distancia entre la primera masa y el punto «P» será $$$ \text{d}_1 = \text{x}$$$, mientras que la distancia entre la segunda masa y el punto «P» será $$$ \text{d}_2 = 4 - \text{x}$$$.


El campo gravitatorio de la primera masa $$$ \vec{\text{g}}_1$$$ apunta hacia la izquierda y en sentido hacia la masa, mientras que el campo gravitatorio de la segunda masa $$$ \vec{\text{g}}_2$$$ apunta hacia la segunda masa y con sentido hacia la derecha:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{g}_1 = -G\cdot \dfrac{m_1}{x^2}\ \vec{i}\\ \vec{g}_2 = G\cdot \dfrac{m_2}{(4 - x)^2}\ \vec{i}}$$$

Se tiene que cumplir que el campo total sea nulo. Si aplicas el principio de superposición:

$$$ \require{cancel} \vec{\text{g}}_T = \vec{\text{g}}_1 + \vec{\text{g}}_2 = \vec{0}\ \to\ \vert\vec{\text{g}}_1\vert = \vert\vec{\text{g}}_2\vert\ \to\ \cancel{\text{G}}\cdot \dfrac{\text{m}_1}{\text{x}^2} = \cancel{\text{G}}\cdot \dfrac{\text{m}_2}{(4 - \text{x})^2}$$$

Sustituyes las masas por sus valores, simplificas y tomas raíz cuadrada en ambos miembros:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\cancel{2}}{\text{x}^2} = \dfrac{\cancelto{2}{4}}{(4 - \text{x})^2}\ \to\ \dfrac{1}{\text{x}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4 - \text{x}}$$$

Tienes que seguir trabajando con la ecuación hasta poder despejar «x»:


$$$ 4 - \text{x} = \sqrt{2}\text{x}\ \to\ \text{x}(1 + \sqrt{2}) = 4\ \to\ \text{x} = \dfrac{4}{1 + \sqrt{2}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf x = 1.66\ m}}$$$


El punto en el que el campo total es nulo es P (1.66, 0) m.

b) Lo primero haces es calcular el campo que va desde cada masa hasta el punto indicado. Como se trata de una magnitud vectorial, debes calcular el vector de posición de cada masa con respecto al punto:

$$$ \vec{\text{r}}_1 = (0 - 0)\ \vec{\text{i}} + (2 - 0)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vec{r}_1 = 2\ \vec{j}}} \\ \vec{\text{r}}_2 = (0 - 4)\ \vec{\text{i}} + (2 - 0)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vec{r}_2 = -4\ \vec{i} + 2\ \vec{j}}}$$$

Los módulos de los vectores, que son las distancias desde las masas al punto considerado, son:

$$$ \vert \vec{\text{r}}_1\vert = \sqrt{2^2}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vert \vec{r}_1\vert = 2\ m}} \\ \vert \vec{\text{r}}_2\vert = \sqrt{4^2 + 2^2}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vert \vec{r}_2\vert = \sqrt{20}\ m}}$$$

El campo gravitatorio de la primera masa es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_1 = -G\cdot \dfrac{m_1}{r_1^3}\ \vec{r}_1}} = -6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{kg}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{2\ \text{kg}}{2^3\ \cancel{\text{m}^3}}\cdot 2\ \cancel{\text{m}}\vec{\text{j}} = \color{royalblue}{\bf{-3.34\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

De manera análoga puedes calcular el campo gravitatorio de la segunda masa. En este caso omito las unidades en el cálculo para que quede más claro:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_2 = -G\cdot \dfrac{m_2}{r_2^3}\ \vec{r}_2}} = -6.67\cdot 10^{-11}\cdot \dfrac{4}{\sqrt{20}^3}\cdot \left(-4\ \vec{\text{i}} + 2\vec{\text{j}}\right) = \color{royalblue}{\bf{(1.19\ \vec{i} - 0.596\ \vec{j})\cdot 10^{-11}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

Si aplicas el principio de superposición en el punto considerado obtendrás el campo gravitatorio debido a las dos masas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_T = \vec{g}_1 + \vec{g}_2}} = 1.19\cdot 10^{-11}\ \vec{\text{i}} - \left[(3.34 + 0.596)\cdot 10^{-11}\right]\ \vec{\text{j}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf (1.19\ \vec{i} - 3.94\ \vec{j})\cdot 10^{-11}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$


El módulo del campo total es:

$$$ \vert \vec{\text{g}}_\text{T}\vert = \sqrt{1.19^2 + 3.94^2}\cdot 10^{-11} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.12\cdot 10^{-11}\ N\cdot kg^{-1}}}$$$

En la misma sección

Palabras clave