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Valor del oro que recubre una moneda (5015)
Lunes 1ro de abril de 2019, por
La monedas de colección a veces se recubren de oro para mejorar su belleza y valor. Considera un cuarto de dólar conmemorativo que se anuncia a la venta en 4.98 dólares. Tiene un diámetro de 24.1 mm y un grosor de 1.78 mm, y está cubierto por completo con una capa de oro puro de 
de espesor. El volumen del recubrimiento es igual al grosor de la capa por el área a la cual se aplica. Los patrones en las caras de la moneda y los surcos en los bordes tienen efectos despreciables sobre su área. Supón que el costo del oro es de 10 dólares por gramo. Encuentra el costo del oro agregado a la moneda.
Densidad del oro = 
En primer lugar calculas la superficie que tiene una cara de la moneda:
![S_{cara} = \pi R^2 = \pi \cdot \left(\frac{\emptyset}{2}\right)^2 = 3.14\cdot 12.05^2\ mm^2 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{456\ mm^2}}](local/cache-vignettes/L537xH56/656e4ebdff0081ecbb170db93c73eaf0-c5abf.png?1733073124 "S_{cara} = \pi R^2 = \pi \cdot \left(\frac{\emptyset}{2}\right)^2 = 3.14\cdot 12.05^2\ mm^2 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{456\ mm^2}}")
Como tiene dos caras, la superficie debida a las caras de la moneda será el doble, es decir, ![\color[RGB]{0,112,192}{\bm{912\ mm^2}}](local/cache-vignettes/L95xH20/e41a021a8efe50f078d6545901a63d53-93d1f.png?1733073124 "\color[RGB]{0,112,192}{\bm{912\ mm^2}}"){kind=small}
.
La superficie del borde de la moneda será el producto de la longitud de la circunferencia por el grosor de ella:
![S_{borde} = 2\pi \cdot R\cdot d = 6.28\cdot 12.05\ mm\cdot 1.78\ mm = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{134,7\ mm^2}}](local/cache-vignettes/L577xH24/3c185905ed5e6db6f4c5ba6c071ccc82-fece5.png?1733073124 "S_{borde} = 2\pi \cdot R\cdot d = 6.28\cdot 12.05\ mm\cdot 1.78\ mm = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{134,7\ mm^2}}"){kind=small}
Si sumas las áreas obtenemos un valor total de ![\color[RGB]{0,112,192}{\bm{S_T = 1\ 046.7\ mm^2}}](local/cache-vignettes/L192xH22/ea1dc07f01662e3387aeb2a3396ea1f1-c7428.png?1733073124 "\color[RGB]{0,112,192}{\bm{S_T = 1\ 046.7\ mm^2}}"){kind=small}
.
Para poder calcular el volumen de oro debes expresar el grosor en mm, por lo que el valor a considerar será 
. El volumen de oro que recubre la moneda será:
![V = 1\ 046.7\cdot mm^2\cdot 1.8\cdot 10^{-4}\ mm = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{0.188\ mm^3}}](local/cache-vignettes/L459xH20/2c5ab035b2238010c93d2de116a510c0-b67af.png?1733073124 "V = 1\ 046.7\cdot mm^2\cdot 1.8\cdot 10^{-4}\ mm = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{0.188\ mm^3}}"){kind=small}
Conviertes el volumen en 
para poder calcular la masa de oro que la recubre, siendo el volumen: ![\color[RGB]{0,112,192}{\bm{V = 1.88\cdot 10^{-4}\ cm^3}}](local/cache-vignettes/L206xH20/1b5356119a08644101a0f7c02931ee87-1cbca.png?1733073124 "\color[RGB]{0,112,192}{\bm{V = 1.88\cdot 10^{-4}\ cm^3}}"){kind=small}
. La masa de oro es:
![m_{Au} = 1.88\cdot 10^{-4}\ \cancel{cm^3}\cdot 19.3\ \frac{g}{\cancel{cm^3}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.63\cdot 10^{-3}\ g}}](local/cache-vignettes/L462xH43/af249e9247cd986ae36ca2d70f335d7e-3572d.png?1733073124 "m_{Au} = 1.88\cdot 10^{-4}\ \cancel{cm^3}\cdot 19.3\ \frac{g}{\cancel{cm^3}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.63\cdot 10^{-3}\ g}}"){kind=small}
Como cada gramo de oro cuesta 10 dólares, serán:
![3.63\cdot 10^{-3}\ \cancel{g}\cdot \frac{10\ d\acute{o}lar}{\cancel{g}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.63\cdot 10^{-2}\ d\acute{o}lar}}}](local/cache-vignettes/L424xH51/5269ae8afad4edecf09b022d4dca2252-7f3d1.png?1733073124 "3.63\cdot 10^{-3}\ \cancel{g}\cdot \frac{10\ d\acute{o}lar}{\cancel{g}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.63\cdot 10^{-2}\ d\acute{o}lar}}}")
El costo añadido será de 3.63 centavos de dólar.