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Colisión de dos partículas en la que se degrada energía (3045)

Jueves 11 de junio de 2015, por F_y_Q

Un objeto de 2 kg se desplaza a $10 \ \textstyle{m\over s}$ y choca con un segundo objeto de 10 kg que se encontraba en reposo. Después del choque, el objeto de 2 kg se mueve hacia atrás a $2 \ \textstyle{m\over s}$ .

a) Calcula la cantidad de movimiento y la energía cinética iniciales. ¿Cuál de las dos magnitudes se conserva siempre en un choque?

b) ¿Cuánto vale la velocidad del segundo objeto después del choque?

c) ¿Cuanta energía se degrada durante el choque?

d) Si se tratase de un choque elástico, ¿cuáles serían las velocidades finales?

a) En una colisión se conserva siempre la cantidad de movimiento o momento lineal del sistema. Si el choque es elástico también se conservará la energía cinética del sistema por no haber disipación de energía.
Para calcular la cantidad de movimiento y energía cinética de ambos objetos al inicio solo tenemos que tener en cuenta sus valores de masa y velocidad. El segundo objeto está en reposo inicialmente, por lo que su cantidad de movimiento y su energía cinética serán nulas. Para el primer objeto:

$p_1 = m_1\cdot v_1 = 2\ kg\cdot 10\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{20\ \frac{kg\cdot m}{s}}}}$

$E_{C_1} = \frac{m_1}{2}\cdot v_1^2 = \frac{2\ kg}{2}\cdot 10^2\ \frac{m^2}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{100\ \frac{kg\cdot m^2}{s^2}\equiv (J)}}}$

Estos valores coinciden con la cantidad de movimiento y energía cinética iniciales del sistema.

b) Como se debe conservar la cantidad de movimiento del sistema, la inicial ha de ser igual que la final. Pero recordemos que la inicial depende solo del objeto que está en movimiento al inicio:

$m_1\cdot v_1 = m_1\cdot v^{\prime}_1 + m_2\cdot v^{\prime}_2$

Despejamos el valor de $v^{\prime}_2$ y sustituimos:

$\frac{m_1\cdot v_1 - m_1\cdot v^{\prime}_1}{m_2} = v^{\prime}_2$

$v^{\prime}_2 = \frac{2\ \cancel{kg}\cdot (10 + 4)\ \frac{m}{s}}{10\ \cancel{kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.4\ \frac{m}{s}}}}$

Debemos tener cuidado con el signo de $v’_1$ . Si hemos considerado que su velocidad inicial es positiva, la velocidad después del choque, que tiene sentido contrario, debe ser negativa.

c) Calculamos la energía cinética del sistema después del choque y comparamos el valor con la energía cinética inicial para obtener la energía degradada.

$E^{\prime}_C = \frac{m_1}{2}\cdot v^{\prime}_1^2 + \frac{m_2}{2}\cdot v^{\prime}_2^2$

$E^{\prime}_C = \frac{2\ kg}{2}\cdot (-2)^2\ \frac{m^2}{s^2} + \frac{10\ kg}{2}\cdot (2.4)^2\ \frac{m^2}{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 32.8\ J}$

Por lo tanto, la energía degradada será:

$\Delta E_C = (100 - 32.8)\ J = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 67.2\ J}}$

d) En este caso, toda la energía cinética inicial sería igual a la final. Debemos determinar qué velocidades finales tendrá cada objeto después del choque, para ello vamos a tener en cuenta que se conservan la cantidad de movimiento y la energía cinética en este caso. Sustituimos los valores directamente en las ecuaciones:

$\left 20 = 2{v^{\prime}}_1 + 10v^{\prime}_2 \atop 200 = 2v^{\prime}_1^2 + 10v^{\prime}_2^2\right \} \to \left 10 = v^{\prime}_1 + 5v^{\prime}_2 \atop 100 = v^{\prime}_1^2 + 5v^{\prime}_2^2\right \}$

Despejamos en la primera ecuación $v^{\prime}_1 = 10 - 5v^{\prime}_2$ y sustituimos en la segunda $100 = (10 - 5v^{\prime}_2)^2 + 5v^{\prime}_2^2$

Desarrollando el paréntesis llegamos a la ecuación $0 = -100v^{\prime}_2 + 30v^{\prime}_2^2$

Resolvemos la ecuación y obtenemos el valor:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v^{\prime}_2 = 3.33\ \frac{m}{s}}}}$

El valor de la velocidad del primer objeto:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v^{\prime}_1 = -6.65\ \frac{m}{s}}}}$

Colisión de dos partículas en la que se degrada energía (3045)

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