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Deducción de la ecuación de la velocidad angular en un péndulo cónico (1789)
Jueves 14 de junio de 2012, por
Una partícula de masa m (kg) que pende de un hilo inextensible, de longitud L (m), se mueve en un círculo horizontal con rapidez constante, v 
, constituyendo un péndulo cónico. Suponiendo que se conoce el ángulo 
, que forma el hilo con la vertical, demuestra que la velocidad angular, 
, puede ser calculada mediante la ecuación:
donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad 
.
Si dibujas todas las fuerzas presentes en el sistema obtienes el siguiente esquema:
La fuerza centrípeta puede ser escrita en función de la velocidad angular si tienes en cuenta que la rapidez es igual al producto de la velocidad angular y el radio:
![F_{ct} = m\cdot a_{ct} = m\cdot \frac{v^2}{R} = \frac{m\cdot \omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \omega^2\cdot R}}](local/cache-vignettes/L353xH41/3b27d535c4c05b07f6e42345ed25f6c3-c50c1.png?1732960831 "F_{ct} = m\cdot a_{ct} = m\cdot \frac{v^2}{R} = \frac{m\cdot \omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \omega^2\cdot R}}"){kind=small}
La tangente del ángulo que forma el péndulo con la vertical es el cociente:
![tg\ \beta = \frac{F_{ct}}{p} = \frac{\cancel{m}\cdot \omega^2\cdot R}{\cancel{m}\cdot g} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{\omega^2\cdot R}{g}}}](local/cache-vignettes/L241xH43/f8676f5dbc994821f3622bddbe0f839b-3b93b.png?1732960831 "tg\ \beta = \frac{F_{ct}}{p} = \frac{\cancel{m}\cdot \omega^2\cdot R}{\cancel{m}\cdot g} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{\omega^2\cdot R}{g}}}"){kind=small}
El radio puedes escribirlo en función de la longitud del péndulo y el ángulo:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{R = L\cdot sen\ \beta}}](local/cache-vignettes/L110xH16/7b928fd34705e86464185724e6516de8-55ba2.png?1732960831 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{R = L\cdot sen\ \beta}}"){kind=small}
Sustituyendo el radio en la ecuación anterior puedes obtener la ecuación que propone el enunciado:
![\frac{\cancel{sen\ \beta}}{cos\ \beta} = \frac{\omega^2\cdot L\cdot \cancel{sen\ \beta}}{g}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L\cdot cos\ \beta}}}}}](local/cache-vignettes/L336xH51/831fd80882e8259635b97ba79ad17a03-b2fee.png?1732960831 "\frac{\cancel{sen\ \beta}}{cos\ \beta} = \frac{\omega^2\cdot L\cdot \cancel{sen\ \beta}}{g}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L\cdot cos\ \beta}}}}}")
