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Termodinámica: transformaciones sobre un gas diatómico (7002)

Jueves 28 de enero de 2021, por F_y_Q

Un gas ideal diatómico se encuentra inicialmente a una temperatura , una presión $P_1 = 10^5\ Pa$ y ocupa un volumen $V_1 = 0.8\ m^3$ . El gas se expande adiabáticamente hasta ocupar un volumen $V_2 = 12\ m^3$ . Posteriormente se comprime isotérmicamente hasta que su volumen es otra vez y por último vuelve a su estado inicial mediante una transformación isócora. Todas las transformaciones son reversibles. Calcula la variación de energía interna, el trabajo y el calor en cada transformación.

Para poder calcular la energía interna en la primera transformación es necesario saber la presión y la temperatura finales, así como los moles de gas contenidos en el sistema. Los moles son:

$P_1\cdot V_1 = nRT_1\ \to\ n = \frac{10^5\ \cancel{Pa}\cdot 0.8\ \cancel{m^3}}{8.314\ \frac{\cancel{Pa}\cdot \cancel{m^3}}{mol\cdot \cancel{K}}\cdot 300\ \cancel{K}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 32\ mol}$

En la expansión adiabática de un gas ideal diatómico, la capacidad calorífica a volumen constante es $C_v = \textstyle{5\over 2}R$ y el coeficiente adiabático es igual a 1.4 y el producto del volumen por la presión ha de ser constante, según la siguiente ecuación:

$P_1\cdot V_1^{\gamma} = P_2\cdot V_2^{\gamma}$

Despejas el valor de la presión final y la calculas:

$P_2 = P_1\Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^{\gamma} = 10^5\ Pa \left(\frac{0.8\ \cancel{m^3}}{12\ \cancel{m^3}}\right)^{1.4} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.26\cdot 10^3\ Pa}}$

Ahora puedes calcular la temperatura al final de la transformación aplicando la ley general de los gases:

$\frac{P_1\cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2\cdot V_2}{T_2}\ \to\ T_2 = \frac{P_2\cdot V_2\cdot T_1}{P_1\cdot V_1} = \frac{2.26\cdot 10^3\ \cancel{Pa}\cdot 12\ \cancel{m^3}\cdot 300\ K}{0.8\ \cancel{m^3}\cdot 10^5\ \cancel{Pa}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 101.7\ K}}$

Transformación adiabática.

En este caso $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{Q_1 = 0}}}$ y tienes que $\Delta U_1 = -W$ :

$\Delta U_1 = n\cdot C_v(T_2 - T_1) = 32\ \cancel{\cancel{mol}}\cdot 2.5\cdot 8.314\ \frac{J}{\cancel{mol}\cdot \cancel{K}}(101.7 - 300)\ \cancel{K} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-1.32\cdot 10^5\ J}}}$

Por lo que el trabajo es $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{W_1 = 1.32\cdot 10^5\ J}}}$ .

Transformación isotérmica.

Ahora $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta U_2 = 0}}}$ y tienes que

$W_2 = nRT_2\cdot ln\ \left(\frac{V_1}{V_2}\right) = 32\ \cancel{mol}\cdot 8.314\ \frac{J}{\cancel{mol}\cdot \cancel{K}}\cdot 101.7\ \cancel{K}\cdot ln\ \left(\frac{0.8\ \cancel{m^3}}{12\ \cancel{m^3}}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-7.33\cdot 10^4\ J}}}$

El calor es $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{Q_2 = -7.33\cdot 10^4\ J}}}$

Transformación isócora.

Ahora $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{W_3 = 0}}}$ y tienes que $\Delta U_3 = Q_3$ :

Como el sistema vuelve al estado inicial, la variación de la energía interna total tiene que ser cero. Recuerda que esto se debe a que la energía interna es una función de estado.

$\cancelto{0}{\Delta U_T} = \Delta U_1 + \cancelto{0}{\Delta U_2} + \Delta U_3\ \to\ \Delta U_3\ \to\ \Delta U_3 = -\Delta U_1 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.32\cdot 10^5\ J}}}$

Por lo que el calor es $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{Q_3 = 1.32\cdot 10^5\ J}}}$

Termodinámica: transformaciones sobre un gas diatómico (7002)

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