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Campo magnético, radio de curvatura y periodo del movimiento de un electrón (6563)

Sábado 9 de mayo de 2020, por F_y_Q

Un electrón se mueve a lo largo del eje Y en sentido positivo con una velocidad de $2\cdot 10^6\ \textstyle{m\over s}$ y experimenta una fuerza de $5\cdot 10^{-12}\ N$ en sentido negativo del eje Z.

a) Halla el vector intensidad de campo magnético responsable de esta fuerza.

b) Halla el radio de la circunferencia descrita por el electrón y sentido de giro de la misma. Dibujo 2D.

c) Halla el periodo del movimiento.

d) Si se duplicase la carga de la partícula cargada y la masa se cuadruplicase, manteniendo la misma v y el mismo campo magnético, ¿cuál sería el radio de la circunferencia descrita por esa nueva partícula?

Datos: $q_{e^-} = -1.6\cdot 10 ^{-19}\ C$ ; $m_{e^-} = 9.1\cdot 10 ^{-31}\ kg$

a) A partir de la ley de Lorentz puedes calcular el módulo de la inducción magnética:

$F = q\cdot v\cdot B\ \to\ B = \frac{F}{q\cdot v} = \frac{5\cdot 10^{-12}\ N}{1.6\cdot 10^{-19}\ C\cdot 2\cdot 10^6\ \frac{m}{s}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 15.6\ T}$
El vector tiene que ser perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y fuerza y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha, pero hay que tener en cuenta que, al ser una carga negativa, se debe cambiar ese sentido. El vector es, por lo tanto:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{B} = - 15.6\ \vec i}}}$

b) El radio de la circunferencia lo puedes obtener si igualas la fuerza centrípeta a la fuerza magnética:

$\frac{m\cdot v\cancel{^2}}{R} = q\cdot \cancel{v}\cdot B\ \to\ R = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$

Como conoces todos los datos solo tienes que sustituir y calcular:

$R = 9.1\cdot 10^{-31}\ kg\cdot 2\cdot 10^6\ \frac{m}{s}}{1.6\cdot 10^{-19}\ C\cdot 15.6\ T} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{7.3\cdot 10^{-7}\ m}}}$

El esquema puede ser algo como la imagen siguiente:

Clicando en la miniatura puedes ver la imagen con más detalle.

c) El periodo se define como el tiempo que emplea en dar una vuelta completa:

$v = \frac{L}{t}\ \to\ T = \frac{2\pi\cdot R}{v} = \frac{2\pi\cdot 7.3\cdot 10^{-7}\ \cancel{m}}{2\cdot 10^6\ \frac{\cancel{m}}{s}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.3\cdot 10^{-12}\ s}}}$

d) Si analizas la ecuación del radio de la circunferencia y le impones las condiciones del enunciado, puedes obtener el nuevo radio de curvatura:

$R^{\prime} = \frac{4m\cdot v}{2q\cdot B} = 2R\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{R^{\prime} = 1.46\cdot 10^{-6}\ m}}}$

Campo magnético, radio de curvatura y periodo del movimiento de un electrón (6563)

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