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Características de una onda creada en el centro de una piscina circular (8216)
Jueves 23 de mayo de 2024, por
En el centro de una piscina circular de 6 m de radio se produce una perturbación que origina un movimiento ondulatorio en la superficie del agua. La longitud de onda es de 0.50 m y tarda 12 s en llegar a la orilla. Calcula la frecuencia del movimiento ondulatorio. ¿Cuál es la amplitud del mismo si al cabo de 0.25 s la elongación en el origen es de 4 cm? Determina la elongación en el instante t = 12 s en un punto situado a 6 m del foco emisor.
Para determinar la frecuencia de la onda es necesario conocer la velocidad con la que se propaga. Esa velocidad es:
![v = \frac{d}{t} = \frac{6\ m}{12\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{0.5\ m\cdot s^{-1}}}](local/cache-vignettes/L264xH45/db2faa071ad4cf1a9f5b2eb4720bb2ab-78320.png?1732969008 "v = \frac{d}{t} = \frac{6\ m}{12\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{0.5\ m\cdot s^{-1}}}"){kind=small}
La velocidad de propagación es igual al producto entre la frecuencia y la longitud de onda. Si despejas y sustituyes:
![v = \lambda\cdot \nu\ \to\ \nu = \frac{v}{\lambda} = \frac{0.5\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}{0.50\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1\ s^{-1}}}}](local/cache-vignettes/L411xH49/c97a12a0bf62e22468d288485d7da82c-4b975.png?1732969008 "v = \lambda\cdot \nu\ \to\ \nu = \frac{v}{\lambda} = \frac{0.5\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}{0.50\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1\ s^{-1}}}}"){kind=small}
La ecuación general de una onda sigue la forma:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(x,t) = A\cdot sen\ (\omega\cdot t - kx + \phi_0)}}](local/cache-vignettes/L346xH23/d04ccfc2eb7c47d593bee63dbdb3ce4a-dae96.png?1732969008 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(x,t) = A\cdot sen\ (\omega\cdot t - kx + \phi_0)}}"){kind=small}
Si consideras que al inicio la superficie del agua está en reposo, el desfase será cero. Si tomas como referencia el lugar donde se origina la perturbación, x = 0. En este caso, la ecuación de la onda es:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(0, t) = A\cdot sen\ (\omega\cdot t)}}](local/cache-vignettes/L234xH23/89db6f89e8026dc6d938a3357f9d6453-451ac.png?1732969008 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(0, t) = A\cdot sen\ (\omega\cdot t)}}"){kind=small}
La frecuencia angular se relaciona con la frecuencia que has calculado por medio de la ecuación:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = 2\pi\cdot \nu}}](local/cache-vignettes/L105xH15/962eeaee9e4783be26cefb2101845017-dccac.png?1732969008 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = 2\pi\cdot \nu}}"){kind=small}
Sustituyes el valor de la elongación para los 0.25 s y despejas el valor de la amplitud:
![A = \frac{y(0,t)}{sen\ (\omega\cdot t)} = \frac{4\ cm}{sen\ (2\pi\cdot 1\ \cancel{s^{-1}}\cdot 0.25\ \cancel{s})} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 4\ cm}}](local/cache-vignettes/L480xH52/29754fad951c14e954e19c58650fd75e-5b1cb.png?1732969008 "A = \frac{y(0,t)}{sen\ (\omega\cdot t)} = \frac{4\ cm}{sen\ (2\pi\cdot 1\ \cancel{s^{-1}}\cdot 0.25\ \cancel{s})} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 4\ cm}}")
En este momento puedes calcular la elongación para t = 12 s, cuando x = 6 m:
![y(6, 12) = 4\ cm\cdot sen\ (2\pi\cdot 1\ \cancel{s^{-1}}\cdot 12\ \cancel{s} - \frac{2\pi}{0.5\ \cancel{m}}\cdot 6\ \cancel{m})\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf y(6,12) = 0}}](local/cache-vignettes/L672xH46/dac07b787d38c1eccc6a44d858142891-32ee1.png?1758361885 "y(6, 12) = 4\ cm\cdot sen\ (2\pi\cdot 1\ \cancel{s^{-1}}\cdot 12\ \cancel{s} - \frac{2\pi}{0.5\ \cancel{m}}\cdot 6\ \cancel{m})\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf y(6,12) = 0}}"){kind=small}