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Magnitudes características de una onda y velocidad y aceleración de un punto (8190)

Sábado 20 de abril de 2024, por F_y_Q

La ecuación de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es:

$y(x, t) = 0.05\cdot cos\ 2\pi (4t -2x)$

a) Determina las magnitudes características de la onda (amplitud, frecuencia angular, número de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagación).

b) Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de un elemento de la cuerda y sus valores máximos.

c) Determina los valores de la elongación, velocidad y aceleración de un punto situado a 1 m del origen en el instante t = 3 s.

a) La expresión general de una onda es:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(x, t) = A\cdot cos\ (\omega t - kx)}}$

Por comparación, puedes obtener los siguientes valores:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{A = 0.05\ m\ ;\ \omega = 8\pi\ rad\cdot s^{-1}\ ;\ k = 4\pi\ rad\cdot m^{-1}}}}$

La longitud de onda es:

$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi\ \cancel{rad}}{4\pi\ \cancel{rad}\cdot m^{-1}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.5\ m}}$

La frecuencia la calculas con la ecuación:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{8\pi\ \cancel{rad}\cdot s^{-1}}{2\pi\ \cancel{rad}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{4\ s^{-1}}}}$

El periodo es la inversa de la frecuencia:

$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{4\ s^{-1}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.25\ s}}$

La velocidad de propagación es el producto de la longitud de onda por la frecuencia:

$v = \lambda\cdot \nu = 0.5\ m\cdot 4\ s^{-1} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2\ m\cdot s^{-1}}}}$

b) La velocidad de vibración la obtienes si derivas la ecuación de la posición con respecto del tiempo:

$v = \frac{dy}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = -0.4\pi\cdot sen\ (8\pi t - 4\pi x)}}$

La velocidad será máxima cuando el seno sea 1 o -1, es decir, la velocidad de vibración máxima es:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v_{\text{max}} = 0.4\pi\ m\cdot s^{-1}}}}$

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

$a = \frac{dv}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a = -3.2\pi^2\cdot cos\ (8\pi t - 4\pi x)}}$

Al igual que antes, la aceleración será máxima cuando el coseno sea 1 o -1, por lo tanto:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_{\text{max}} = 3.2\pi^2\ m\cdot s^{-2}}}}$

c) Basta con sustitir t = 3 s y x = 1 m en las correspondientes ecuaciones. Para la elongación:

$y(1, 3) = 0.05\cdot cos\ 2\pi (4\cdot 3 - 2\cdot 1) = 0.05\ m\cdot cos\ (20\pi) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.05\ m}}$

La velocidad de vibración es:

$v = -0.4\cdot sen\ (24\pi - 4\pi) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{0\ m\cdot s^{-1}}}}$

La aceleración es:

$a = -3.2\pi^2\cdot cos\ (24\pi - 4\pi) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-3.2\pi^2\ m\cdot s^{-2}}}}$

El punto está en el extremo de la oscilación, con una velocidad de vibración nula y la máxima aceleración de recuperación, es decir, hacia el centro de la oscilación.

Magnitudes características de una onda y velocidad y aceleración de un punto (8190)

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