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Constante de desintegración y actividad radiactiva de la desintegración alfa del radio (8455)

Miércoles 7 de mayo de 2025, por F_y_Q

Un núcleo de $^{226}_{88}\ce{Ra}$ (radio-226) experimenta desintegración $\alpha$ con una vida media $\tau = 1.6\cdot 10^3$ años, transformándose en $^{222}_{86}\ce{Rn}$ (radón-222).

a) Escribe la reacción nuclear correspondiente a este proceso.

b) Calcula la constante de desintegración ( $\lambda$ ), expresada en $s^{-1}$ .

c) Determina la actividad inicial de una muestra de 1.00 g de $^{226}\ce{Ra}$ .

d) ¿Cuánto tiempo tardará la muestra en reducir su actividad al $10\ \%$ del valor inicial, expresado en años?

Datos: $M_{^{226}\ce{Ra}} = 226\ g\cdot \text{mol}^{-1}$ ; $N_A = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ .

a) La desintegración $\alpha$ del $^{226}_{88}\ce{Ra}$ produce un núcleo de $^{222}_{86}\ce{Rn}$ y una partícula alfa:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\textbf{\ce{^{226}_{88}Ra -> ^{222}_{86}Rn + ^4_2He}}}}$

b) La vida media está relacionada con la constante de desintegración por medio de la ecuación:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\tau = \frac{1}{\lambda}\ \to \lambda = \frac{1}{\tau}}}$

Debes expresar la vida media en segundos:

$\tau = 1.6\cdot 10^3\ \cancel{a\tilde{n}os}\cdot \frac{365\ \cancel{d\acute{\imath}as}}{1\ \cancel{a\tilde{n}o}}\cdot \frac{24\ \cancel{h}}{1\ \cancel{d\acute{\imath}a}}\cdot \frac{3.6\cdot 10^3\ s}{1\ \cancel{h}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.05\cdot 10^{10}\ s}}$

Sustituyes este valor y calculas la constante de desintegración:

$\lambda = \frac{1}{5.05\cdot 10^{10}\ s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.98\cdot 10^{-11}\ s^{-1}}}}$

c) La actividad se define en función del número de núcleos radiactivos con la ecuación:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{A = \lambda\cdot N}}$

Tienes que determinar el número de núcleos que están contenidos en el gramo de radio de partida. Para ello, multiplicas los moles de radio por el número de Avogadro, según la ecuación:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{N = \frac{m}{M}\cdot N_A}}$

Sustituyes y calculas:

$N = \frac{1.00\ \cancel{g}}{226\ \cancel{g}\cdot \cancel{\text{mol}^{-1}}}\cdot 6.022\cdot 10^{23}\ n\acute{u}cleos\cdot \cancel{\text{mol}^{-1}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.66\cdot 10^{21}\ n\acute{u}cleos}}$

La actividad inicial es:

${\color[RGB]{2,112,20}{\bm{A_0 = \lambda\cdot N}}} = 1.98\cdot 10^{-11}\ s^{-1}\cdot 2.66\cdot 10^{21}\ n\acute{u}cleos = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.27\cdot 10^{10}\ Bq}}}$

d) La actividad decae exponencialmente con el tiempo según la ecuación:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{A(t) = A_0 e^{-\lambda t}}}$

Como la actividad debe ser el $10\ \%$ de la actividad inicial, la ecuación anterior queda como:

$0.10 A_0 = A_0 e^{-\lambda t}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{ln(0.10) = -\lambda t}}$

Despejas el valor de «t» y calculas:

${\color[RGB]{2,112,20}{\bm{t = \frac{-\ln(0.10)}{\lambda}}}} = \frac{2.303}{1.98\cdot 10^{-11}\ s^{-1}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.16\cdot 10^{11}\ s}}$

Lo último que debes hacer es el cambio de unidades para expresar el tiempo en años:

$t = 1.16\cdot 10^{11}\ \cancel{s}\cdot \frac{1\ a\tilde{n}o}{3.154\cdot 10^7\ \cancel{s}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.68\cdot 10^3\ a\tilde{n}os}}}}$

Constante de desintegración y actividad radiactiva de la desintegración alfa del radio (8455)

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