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Tensión necesaria para afinar la cuerda DO de un piano (6832)

Jueves 15 de octubre de 2020, por F_y_Q

Se supone que la cuerda DO central de un piano vibra a 261.6 Hz cuando se hace vibrar en su modo fundamental. Un afinador de piano encuentra que, en un piano que tiene una tensión de 900 N en esta cuerda, la frecuencia de vibración es 15 Hz menor. ¿Cuánto debe aumentar la tensión de la cuerda para lograr la frecuencia correcta?

En la cuerda del piano se forman ondas estacionarias cuyas longitudes de onda son $\lambda = \textstyle{2L\over n}$ . En el modo fundamental (n = 1), la longitud de onda es la mitad de la longitud de la cuerda. Si escribes la ecuación de la velocidad de vibración en función de la longitud de onda y de la frecuencia, y sustituyes la velocidad de propagación por la ecuación que la relaciona con la tensión en la cuerda y su densidad densidad lineal:

$\left v = \lambda\cdot f \atop v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right \} \to\ f = \frac{1}{2L}\cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Suponiendo que la longitud de la cuerda es la misma, y que no varía la densidad lineal de la cuerda al tensarla, puedes hacer el cociente entre las frecuencias de vibración y despejar la tensión necesaria:

$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\cancel{\frac{1}{2L}}\cdot \sqrt{\frac{T_1}{\cancel{\mu}}}}{\cancel{\frac{1}{2L}}\cdot \sqrt{\frac{T_2}{\cancel{\mu}}}}\ \to\ T_2 = \frac{T_1\cdot f^2_2}{f^2_1}$

Ahora solo tienes que sustituir y calcular:

$T_2 = \frac{900\ N\cdot 261.6^2\ \cancel{Hz^2}}{(261.6 - 15)^2\ \cancel{Hz^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1\ 012.8\ N}}$

Tensión necesaria para afinar la cuerda DO de un piano (6832)

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