Altura a la que se encuentran dos piedras lanzadas hacia arriba y velocidad de cada una (1151)

, por F_y_Q

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Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 25 m/s. Dos segundos después se lanza otra piedra, también hacia arriba, con el doble de velocidad con que fue lanzada la primera. ¿A qué altura del suelo se encuentran las piedras? ¿Qué velocidad lleva cada una en ese momento?

P.-S.

El desarrollo de este problema está basado en el «Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado» (MRUA). Es caso particular de MRUA que vas a analizar es el lanzamiento vertical hacia arriba. En este movimiento, la aceleración presente es la aceleración gravitatoria ($$$ \text{g} = 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$$$). Lo primero que debes hacer es ordenar los datos que te dan en el enunciado, pero para que los datos tengan significado físico debes establecer una referencia y un criterio de signos. Si tomas la referencia en el suelo ($$$ \text{y} = 0$$$) y que el sentido hacia arriba es positivo:

Piedra 1:

* Velocidad inicial: $$$ \color{royalblue}{\bf v_{01} = 25\ m\cdot s^{-1}}$$$
* Tiempo de vuelo: $$$ \color{royalblue}{\bf t_1 = t}$$$
* Aceleración: $$$ \color{royalblue}{\bf g = -9.8\ m\cdot s^{-2}}$$$

Piedra 2:

* Velocidad inicial: $$$ \text{v}_{02} = 2\cdot \text{v}_{01}\ \to\ \color{royalblue}{\bf v_{02} = 50\ m\cdot s^{-1}}$$$
* Tiempo de vuelo: $$$ \color{royalblue}{\bf t_2 = t - 2}$$$
* Aceleración: $$$ \color{royalblue}{\bf g = -9.8\ m\cdot s^{-2}}$$$

Para saber a qué altura se encuentran ambas piedras debes igualar las ecuaciones de la posición de cada una ($$$ \text{y}_1 = \text{y}_2$$$).

Ecuación de la posición para la piedra 1:

$$$ \text{y}_1 = \text{v}_{01} \cdot \text{t}_1 + \dfrac{g}{2}\cdot \text{t}_1^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf y_1 = 25t - 4.9t^2}$$$

Ecuación de la posición para la piedra 2:

$$$ \text{y}_2 = \text{v}_{02} \cdot \text{t}_2 + \dfrac{g}{2}\cdot \text{t}_2^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf y_2 = 50(t - 2) - 4.9(t - 2)^2}$$$

Si igualas ambas ecuaciones:

$$$ 25\text{t} - 4.9\text{t}^2 = 50(\text{t} - 2) - 4.9(\text{t} - 2)^2\ \to\ 25\text{t} - 4.9\text{t}^2 = 50\text{t} - 100 - 4.9(\text{t}^2 - 4\text{t} + 4)$$$

Tienes que seguir desarrollando la ecuación y puedes cancelar los términos cuadráticos. La ecuación que te queda al final y su resolución es:

$$$ \require{cancel} 25\text{t} = 50\text{t} + 19.6\text{t} - 100 - 19.6\ \to\ 119.6 = 69.6\text{t} - 25\text{t}\ \to\ \text{t} = \dfrac{119.6\ \cancel{\text{m}}}{44.6\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 2.68\ s}$$$

El tiempo obtenido lo sustituyes en cualquiera de las ecuaciones de la posición de las piedras y obtienes la altura a la que se encuentran. Si lo haces con la piedra 1:

$$$ \require{cancel} \text{y}_1 = 25\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 2.68\ \cancel{\text{s}} - 4.9\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}^2}\cdot 2.68^2\ \cancel{\text{s}}^2 = \color{firebrick}{\boxed{\bf 31.8\ m}}$$$


La velocidad de cada piedra en este instante la obtienes si haces las ecuaciones de la velocidad de cada piedra y sustituyes el tiempo calculado. Las ecuaciones de la velocidad son:

Velocidad de la piedra 1:

$$$ \require{cancel} {\color{forestgreen}{\bf v_1 = v_{01} + g\cdot t_1}}\ \to\ \text{v}_1 = 25\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} - 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}\cancel{^2}}\cdot 2.68\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf -1.26\ m\cdot s^{-1}}}$$$


El signo negativo indica que ya está descendiendo.

Velocidad de la piedra 2:

$$$ \require{cancel} {\color{forestgreen}{\bf v_2 = v_{02} + g\cdot t_2}}\ \to\ \text{v}_2 = 50\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} - 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}\cancel{^2}}\cdot (2.68 - 2)\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 43.3\ m\cdot s^{-1}}}$$$


El signo positivo indica que está subiendo y con una gran celeridad.

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