Caída libre de un objeto desde una torre y lanzamiento vertical hacia arriba de otro (1152)

, por F_y_Q

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Desde lo alto de una torre de 52 m, José deja caer un objeto. Un segundo más tarde, otro objeto es lanzado hacia arriba desde el suelo por Gabriel, con velocidad inicial de 30 m/s. ¿A qué altura del suelo se encuentran los dos objetos? ¿Qué velocidad lleva cada uno en ese instante?

P.-S.

Este problema presenta una composición de movimientos que incluya la caída libre de un objeto desde lo alto de una torre y el lanzamiento vertical hacia arriba de un segundo objeto. Las ecuaciones de la posición y la velocidad de cada objeto deben corresponderse con las del tipo de movimiento que describen.

Para poder usar bien las ecuaciones es necesario que establezcas una referencia y un criterio de signos. Si sitúas el origen coordenadas en el suelo (y = 0) y el sentido positivo hacia arriba, los datos de ecuaciones para cada objeto son:

Objeto 1 (caída libre):

* Altura inicial: $$$ \color{royalblue}{\bf y_{01} = 52\ m}$$$
* Velocidad inicial: $$$ \color{royalblue}{\bf v_{01} = 0}$$$
* Tiempo de vuelo: $$$ \color{royalblue}{\bf t_1 = t}$$$
* Aceleración: $$$ \color{royalblue}{\bf g = - 9.8\ m\cdot s^{-2}}$$$
* Ecuación de la posición: $$$ \text{y}_1 = \text{y}_{01} + \text{v}_{01}\text{t}_1 + \dfrac{\text{g}}{2}\cdot \text{t}_1^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf y_1 = 52 - 4.9t^2}$$$
* Ecuación de la velocidad: $$$ \text{v}_1 = \text{v}_{01} + \text{g}\cdot \text{t}_1\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_1 = -9.8t}$$$

Objeto 2 (lanzamiento vertical):

* Altura inicial: $$$ \color{royalblue}{\bf y_{02} = 0}$$$
* Velocidad inicial: $$$ \color{royalblue}{\bf v_{02} = 30\ m\cdot s^{-1}}$$$
* Tiempo de vuelo: $$$ \color{royalblue}{\bf t_2 = t - 1}$$$
* Aceleración: $$$ \color{royalblue}{\bf g = - 9.8\ m\cdot s^{-2}}$$$
* Ecuación de la posición: $$$ \text{y}_2 = \text{y}_{02} + \text{v}_{02}\text{t}_2 + \dfrac{\text{g}}{2}\cdot \text{t}_2^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf y_2 = 30(t - 1) - 4.9(t - 1)^2}$$$
* Ecuación de la velocidad: $$$ \text{v}_1 = \text{v}_{02} + \text{g}\cdot \text{t}_2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_2 = 30 -9.8(t - 1)}$$$

Para calcular la altura a la que se encuentran ambos objetos debes igualar las ecuaciones de la posición de cada uno. De este modo, puedes saber en qué momento se encuentran:

$$$ \require{cancel} 52 - 4.9\text{t}^2 = 30(\text{t} - 1) - 4.9(\text{t} - 1)^2\ \to\ 52 - \cancel{4.9\text{t}^2} = 30\text{t} - 30 - \cancel{4.9\text{t}^2} + 9.8\text{t} - 4.9$$$

Como puedes ver, la ecuación es de primer grado tras cancelar los términos cuadrados, por lo tanto:

$$$ \require{cancel} 52 + 30 + 4.9 = 39.8\text{t}\ \to\ \text{t} = \dfrac{86.9\ \cancel{\text{m}}}{39.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 2.18\ s}$$$

Sustituyes este valor del tiempo en la ecuación del objeto 1, por ejemplo:

$$$ \require{cancel} \text{y}_1 = 52\ \text{m} - 4.9\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot 2.18^2\ \cancel{\text{s}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 28.7\ m}}$$$


Las velocidades de cada objeto las obtienes al sustituir el tiempo que has calculado en cada una de las ecuaciones de la velocidad:

Velocidad del objeto 1:

$$$ \require{cancel} \text{v}_1 = - 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}\cancel{^2}}\cdot 2.18\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf -21.4\ m\cdot s^{-1}}}$$$


El signo negativo indica que está bajando.

Velocidad del objeto 2:

$$$ \require{cancel} \text{v}_2 = 30\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} - 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}\cancel{^2}}\cdot (2.18 - 1)\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 18.4\ m\cdot s^{-1}}}$$$


El signo positivo indica que todavía está subiendo.

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