Cálculo de la profundidad de un pozo lanzando una moneda en su interior (1154)

, por F_y_Q

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Se deja caer una moneda en un pozo y cinco segundos después se escucha el impacto de la moneda en el fondo. ¿Cuál es la profundidad del pozo?

Dato: Velocidad del sonido en el aire: 340 m/s.

P.-S.

Para resolver este problema, debes considerar que el tiempo total de 5 segundos se divide en dos fases: el tiempo que tarda la moneda en caer y el tiempo que tarda el sonido del impacto en subir hasta los oídos. El movimiento de caída de la moneda es un MRUA, mientras que el movimiento del sonido lo debes considerar como un MRU.

Si tomas como referencia el lugar desde el que dejas caer la moneda, la ecuación de la posición para la moneda es:

$$$ \require{cancel} \text{h}_\text{m} = \cancelto{0}{\text{h}_0} + \cancelto{0}{\text{v}_0}\cdot \text{t}_1 + \dfrac{\text{g}}{2}\cdot \text{t}_1^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h_m = 4.9\cdot t_1^2}$$$

La posición para el sonido es:

$$$ \text{h}_\text{s} = \text{v}_\text{s} \cdot \text{t}_2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h_s = 340\cdot t_2}$$$

La otra ecuación que debes tener en cuenta es que la suma de los tiempos es igual a los cinco segundos:

$$$ \color{forestgreen}{\bf t_1 + t_2 = 5}$$$

La forma más simple de resolver el sistema de ecuaciones es si despejas el valor del segundo tiempo en la ecuación del tiempo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf t_2 = 5 - t_1}$$$

Sustituyes el tiempo e igualas las ecuaciones de posición de la moneda y el sonido:

$$$ 4.9\text{t}_1^2 = 340(5 - t_1)\ \to\ 4.9\text{t}_1^2 = 1.7\cdot 10^3 - 340\text{t}_1$$$

Tienes que reordenar para obtener la ecuación de segundo grado que tendrás que resolver:

$$$ \color{forestgreen}{\bf 4.9t_1^2 + 340t_1 - 1.7\cdot 10^3 = 0}$$$

Usas la fórmula para las ecuaciones cuadráticas y resuelves:

$$$ \text{t}_1 = \dfrac{-340\pm \sqrt{(340)^2 - 4\cdot 4.9\cdot (-1\ 700)}}{2\cdot 4.9}\ \to\ \bf t_1 = \dfrac{-340\pm 386}{9.82}$$$

Vas a obtener dos soluciones, pero la solución negativa no tiene sentido físico porque estás calculando un tiempo, por lo tanto:

$$$ \require{cancel} \text{t}_1 = \dfrac{46\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-\cancel{2}}} = \color{royalblue}{\bf 4.69\ s}$$$

Para calcular la profundidad del pozo puedes ir a la ecuación de la posición de la moneda y sustituir el valor del tiempo calculado:

$$$ \require{cancel} \text{h}_\text{m} = 4.9\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot 4.69^2\ \cancel{\text{s}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 107.8\ m}}$$$

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