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Cuerpo que desliza por un plano inclinado y otro horizontal con rozamiento (6333)

Miércoles 18 de marzo de 2020, por F_y_Q

Un cuerpo de 10 kg de masa desliza desde lo alto de un plano, de 5 m de longitud, inclinado sobre la horizontal cuyo coeficiente de rozamiento es 0.25. A continuación de él hay un plano horizontal con coeficiente de rozamiento 0.3. Determina:

a) Velocidad con la que llega el cuerpo al plano horizontal.

b) Distancia que recorre el cuerpo sobre el plano horizontal hasta que se para.

c) Cantidad de energía degradada por el rozamiento en todo el trayecto.

Para poder hacerte una idea de cómo es el sistema que plantea el problema es bueno hacer una representación y marcar los puntos sobre los que debemos hacer cálculos:

Puede ser útil calcular la altura h a la que está el cuerpo al iniciar su movimiento, para saber cuál es su energía mecánica inicial:

$h = d\cdot sen\ \alpha = 5\ m\cdot sen 30 = \color[RGB]{0,112,192}{\bf{2.5\ m}}$

a) La velocidad con la que llegará a B la puedes obtener haciendo un balance de energía entre los puntos A y B, aplicando el principio de conservación de la energía:

$E_P(A) = E_C(B) + W_{R_1}\ \to\ E_C(B) = E_P(A) - W_{R_1}$

$\frac{\cancel{m}}{2}\cdot v_B^2 = \cancel{m}\cdot g\cdot h_A - \mu_1\cdot \cancel{m}\cdot g\cdot d_1\cdot cos\ 30\ \to\ v_B = \sqrt{2g(h_A - \mu_1\cdot d_1\cdot cos\ 30)}$

Sustituyes los datos del problema y calculas:

$v_B = \sqrt{2\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\Big(2.5\ m - 0.25\cdot 5\ m\cdot cos\ 30\Big)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.27\ \frac{m}{s}}}}$

b) Ahora debes hacer otro balance de energía entre los puntos B y C del esquema, pero teniendo en cuenta que la energía mecánica en C es cero porque estará detenido el cuerpo y en el nivel de referencia. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica queda de la siguiente manera:

$E_C(B) = 0 + W_{R_2}\ \to\ \frac{\cancel{m}}{2}\cdot v_B^2 = \mu_2\cdot \cancel{m}\cdot g\cdot d$

Solo tienes que despejar el valor de la distancia y calcular:

$d = \frac{v_B^2}{2\cdot \mu_2\cdot g} = \frac{5.27^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{2\cdot 0.3\cdot 9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{4.72\ m}}}$

c) La energía degradada por el rozamiento tiene que ser igual a la energía mecánica inicial del cuerpo, es decir, su energía potencial en A:

$W_{R_T} = E_P(A) = m\cdot g\cdot h_A = 10\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 2.5\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{245\ J}}}$

Cuerpo que desliza por un plano inclinado y otro horizontal con rozamiento (6333)

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