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Ecuación de la posición, espacio recorrido y velocidad media de un sistema en movimiento (8224)

Martes 11 de junio de 2024, por F_y_Q

Una partícula se mueve a lo largo del eje OX de un sistema de coordenadas con aceleración constante. En el instante inicial pasa por la posición $x_0 = -10\ m$ con una velocidad $v_0 = -20\ m\cdot s^{-1}$ y en t = 3 s su posición es $x_{3s} = -52\ m$ . Determina:

a) La ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo.

b) El espacio recorrido por la partícula entre t = 3 s y t = 6 s.

c) La velocidad media entre t = 4 s y t = 7 s.

d) Los intervalos de tiempo en que la partícula se aleja del origen.

a) La ecuación de un sistema que se mueve con aceleración constante es:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{x(t) = x_0 + v_0\cdot t + \frac{a}{2}\cdot t^2}}$

Conoces los datos de posición y velocidad inicial, pero no conoces la aceleración. La puedes calcular a partir del dato de la posición a los tres segundos:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{2(x_{3s} - x_0 - v_0\cdot t)}{t^2} = a}}$

$a = \frac{2[(-52 + 10)\ m + 20\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 3\ \cancel{s}]}{3^2\ s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{4\ m\cdot s^{-2}}}$

La ecuación de la posición es:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{x(t) = -10 - 20t + 2t^2}}}$

b) Lo primero que debes saber es si cambia de sentido el movimiento del sistema. Para ello haces la ecuación de la velocidad y la igualas a cero porque, un cambio de sentido implica que la velocidad se hace nula en algún punto:

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -20 + 4t\ \to\ -20 + 4t = 0\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf t = 5\ s}$

Haces las posiciones para 5 s y 6 s:

$\left x_{5s} = -10\ m - 20\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 5\ \cancel{s} + 2\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 25\ \cancel{s^2} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf -60\ m}} \atop x_{6s} = -10\ m - 20\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 6\ \cancel{s} + 2\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 36\ \cancel{s^2} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf -58\ m}} \right \}$

Las distancias recorridas en cada intervalo son:

$\left d_1 = |x_{5s} - x_{3s}| = |(-60 + 52)\ m| = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 8\ m}} \atop d_2 = |x_{6s} - x_{5s}| = |(-58 + 60)\ m| = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 2\ m}} \right \}$

La distancia total recorrida es:

$d_T = (8 + 2)\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 10\ m}}$

c) La velocidad media se define como el desplazamiento entre el tiempo, por ello debes calcular el desplazamiento entre los dos instantes dados:

$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{|x_{7s} - x_{4s}|}{(7 - 4)\ s} = \frac{|(-52 + 58)\ m|}{3\ s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2\ m\cdot s^{-1}}}}$

d) La partícula se aleja del origen desde el instante inicial hasta que cambia el sentido del movmiento, es decir, hasta t = 5 s. A partir de ese momento, comienza a acercarse al origen, pero habrá un momento en el que llegue hasta él y lo rebase. Ese instante es:

$x(t) = 0 = -10 -20t + 2t^2\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf t = 10.5\ s}}$
Solo obtienes un valor positivo de tiempo que es el que tiene significado físico.

Los intervalos de tiempo son:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t = (0,5) \cup (10.5, \infty)}}}$

Ecuación de la posición, espacio recorrido y velocidad media de un sistema en movimiento (8224)

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