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Lanzamiento oblicuo de un proyectil descrito en gráficas (6871)
Domingo 8 de noviembre de 2020, por
Se dispara un proyectil y las gráficas de las componentes de la velocidad son las indicadas.
Calcula:
a)La velocidad inicial del disparo (módulo y dirección).
b) El tiempo que el proyectil está en el aire.
c) El alcance del proyectil.
d) La altura máxima que alcanza.
a) La velocidad inicial del del disparo la puedes obtener a partir de los valores de las velocidades iniciales en ambos ejes. El módulo de la velocidad inicial es:
![v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = \sqrt{(10^2 + 15^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{18.0\ \frac{m}{s}}}}](local/cache-vignettes/L347xH40/76c87f5b4a330b96048c26191f45d28f-f6bb7.png?1733017628 "v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = \sqrt{(10^2 + 15^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{18.0\ \frac{m}{s}}}}"){kind=small}
La dirección del disparo la obtienes si haces la inversa de la tangente del ángulo:
![tg\ \alpha = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}\ \to\ \alpha = arctg\ \frac{15\ \cancel{\frac{m}{s}}}{10\ \cancel{\frac{m}{s}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{56.3 ^o}}}](local/cache-vignettes/L299xH45/0d413ed488ed79b971a8269830079c55-dec4b.png?1733017628 "tg\ \alpha = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}\ \to\ \alpha = arctg\ \frac{15\ \cancel{\frac{m}{s}}}{10\ \cancel{\frac{m}{s}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{56.3 ^o}}}"){kind=small}
b) El tiempo de vuelo lo puedes obtener a partir de la primera gráfica porque sabes la velocidad inicial y final de la componente vertical:
![v_{fy} = v_{0y} - g\cdot t_v\ \to\ t_v = \frac{(15 + 15)\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 3.06\ s}}](local/cache-vignettes/L355xH54/de87b4da6fb190681c3bea592c560b65-d629b.png?1733017628 "v_{fy} = v_{0y} - g\cdot t_v\ \to\ t_v = \frac{(15 + 15)\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 3.06\ s}}")
c) Para calcular el alcance tienes que sustituir el tiempo de vuelo en la expresión de la posición horizontal:
![x_{m\acute{a}x} = v_x\cdot t_v = 10\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 3.06\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 30.6\ m}}](local/cache-vignettes/L297xH35/1d983f63c680044365209e7accb5716c-80f41.png?1733017628 "x_{m\acute{a}x} = v_x\cdot t_v = 10\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 3.06\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 30.6\ m}}"){kind=small}
d) La altura máxima se produce cuando la velocidad en el eje Y es nula:
![\cancelto{0}{v_y} = v_{0y} - g\cdot t_s\ \to\ t_s = \frac{15\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.53\ s}](local/cache-vignettes/L292xH54/e82aadd30448580a26633cbbcb3973fb-c858a.png?1733017628 "\cancelto{0}{v_y} = v_{0y} - g\cdot t_s\ \to\ t_s = \frac{15\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.53\ s}")
La altura máxima será:
![y_{m\acute{a}x} = v_{0y}\cdot t_s - \frac{g}{2}\cdot t_s^2 = 15\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.53\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.53^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 11.5\ m}}](local/cache-vignettes/L488xH35/4aa0f9a461fb3ba4543166849f73027c-d8c48.png?1733017628 "y_{m\acute{a}x} = v_{0y}\cdot t_s - \frac{g}{2}\cdot t_s^2 = 15\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.53\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.53^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 11.5\ m}}"){kind=small}