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Potencial y campo eléctrico de tres cargas en un triángulo equilátero (6688)

Jueves 9 de enero de 2025, por F_y_Q

Tres cargas puntuales de valores +q, +2q y -4q están fijas en los vértices de un triángulo equilátero de lado d = 10 cm, como se muestra en la figura. La energía potencial electrostática del conjunto de las tres cargas es igual a $U = -9\cdot 10^{-3}\ J$ . La constante de la ley de Coulomb es $K = 9\cdot 10^9\ N \cdot m^2\cdot C^{-2}$ .

Calcula:

a) El valor de la carga q.

b) El potencial en el punto medio del segmento que une las dos cargas positivas.

c) El módulo y dirección del campo eléctrico en el punto medio del segmento que une las dos cargas positivas. Indica la dirección y sentido mediante un diagrama.

a) A partir del dato de la energía potencial puedes deducir el valor de las cargas. Para un triángulo equilátero se cumple la ecuación:

$U = K\left(\frac{q_1\cdot q_2}{d} + \frac{q_1\cdot q_3}{d} + \frac{q_2\cdot q_3}{d}\right)$

Si consideras que las cargas son: , y , que d = 0.1 m y sustituyes:

$U = K\left(\frac{q\cdot 2q}{0.1} + \frac{q\cdot (-4q)}{0.1} + \frac{2q\cdot (-4q)}{0.1}\right)\ \to\ U = K\left(\frac{2q^2 - 4q^2 - 8q^2}{0.1}\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{U = K\left(\frac{-10q^2}{0.1}\right)}}$

Despejas el valor de «q» y calculas:

$q = \sqrt{-\frac{0.1}{10}\frac{U}{K}} = \sqrt{-0.01\ m\cdot \frac{-9\cdot 10^{-3}\ J}{9\cdot 10^9\ N\cdot m^2\cdot C^{-2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{10^{-7}\ C}}}$

b) El potencial eléctrico en un punto está definido como:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{V = K\frac{q}{r}}}$

El potencial eléctrico debido a las dos cargas en el punto medio es la suma de los potenciales de cada carga en ese punto:

$V = K\left(\frac{q_1}{\frac{d}{2}} + \frac{q_2}{\frac{d}{2}}\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{V = K\left(\frac{q}{0.05} + \frac{2q}{0.05}\right)}}$

Sustituyes y calculas el valor del potencial:

$V = 9\cdot 10^9\ \frac{N\cdot m^2}{C^2}\left(\frac{10^{-7}\ C}{0.05\ m} + \frac{2\cdot 10^{-7}\ C}{0.05\ m}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.8\cdot 10^4\ V}}}$

c) El campo eléctrico, que es una magnitud vectorial, sigue la ecuación:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{E} = K\frac{q}{r^2}\cdot \vec{u}_r}}$

Es necesario que calcules el campo debido a cada carga y luego sumes, teniendo en cuenta que son vectores:

$\left E_1 = 9\cdot 10^9\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{10^{-7}\ \cancel{C}}{2.5\cdot 10^{-3}\ \cancel{m^2}} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.6\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}}} \atop E_2 = 9\cdot 10^9\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{2\cdot 10^{-7}\ \cancel{C}}{2.5\cdot 10^{-3}\ \cancel{m^2}} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{7.2\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}}} \right \}$

Puedes ver cómo se representan ambos vectores es este esquema:

El campo total será la suma de los vectores:

$\vec{E}_T = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \left(3.6\cdot 10^4 + 7.2\cdot 10^4\right)\ \vec{i}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{E}_T = 1.08\cdot 10^5\ \vec{i}\ (N\cdot C^{-1})}}}$

Potencial y campo eléctrico de tres cargas en un triángulo equilátero (6688)

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