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Tiempo para que un gramo de estroncio decaiga hasta una masa dada (5596)
Martes 20 de agosto de 2019, por
El estroncio-90 tiene un tiempo de vida media de 28.8 años. Calcula cuánto tiempo, expresado en años, le tomará a 1 g de isótopo ver reducida su masa a 0.200 g por decaimiento.
La ecuación que relaciona la masa final de muestra con la masa inicial y la constante de desintegración es:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{m = m_0\cdot e^{-\lambda t}}}](local/cache-vignettes/L111xH19/01596d71a3d70c7053b8f6adf6c22c52-736e7.png?1732958442 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{m = m_0\cdot e^{-\lambda t}}}"){kind=small}
Como la constante de desintegración es la inversa de la vida media, puedes reescribir la ecuación anterior como:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{m = m_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}}](local/cache-vignettes/L106xH21/498a31f616f34ab57044928b909cb80c-f3ef4.png?1732958442 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{m = m_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}}}"){kind=small}
.
Si tomas logaritmo neperiano en ambos miembros de la ecuación y despejas, tienes:
![ln\ m = ln\ m_0 + \left(-\frac{t}{\tau}\right)\cdot ln\ e\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{ln\ \left(\frac{m}{m_0}\right) = -\frac{t}{\tau}}}](local/cache-vignettes/L373xH41/de7f43f54d2be026ad08ad2cae0b9feb-e81ef.png?1732958442 "ln\ m = ln\ m_0 + \left(-\frac{t}{\tau}\right)\cdot ln\ e\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{ln\ \left(\frac{m}{m_0}\right) = -\frac{t}{\tau}}}"){kind=small}
Solo tienes que despejar el tiempo que quieres calcular:
![t = -\tau\cdot \ln\ \left(\frac{m}{m_0}\right) = -28.8\cdot ln\ \left(\frac{0.2\ \cancel{g}}{1\ \cancel{g}}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 46.4}}](local/cache-vignettes/L358xH42/fdb04ba66688f75a4f54138a6dd28779-11d16.png?1732958442 "t = -\tau\cdot \ln\ \left(\frac{m}{m_0}\right) = -28.8\cdot ln\ \left(\frac{0.2\ \cancel{g}}{1\ \cancel{g}}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 46.4}}"){kind=small}
Serán necesarios más de 46 años para que se la muestra tenga una masa de 0.200 g.