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EBAU Madrid: física (junio 2021) - ejercicio B.5 (7996)
Domingo 23 de julio de 2023, por
Un isótopo de una muestra radiactiva posee un periodo de semidesintegración de 5 730 años.
a) Obtén la vida media y la constante radiactiva del isótopo.
b) Si una muestra tiene 
átomos radiactivos en el momento inicial, calcula la actividad inicial y el tiempo que debe trascurrir para que dicha actividad se reduzca a la décima parte.
a) La vida media es función del periodo de semidesintegración y su cálculo es inmediato:
![{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\tau = \frac{T_{1/2}}{ln\ 2}}}} = \frac{5\ 730\ a\tilde{n}os}{ln\ 2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{8\ 267\ a\tilde{n}os}}}](local/cache-vignettes/L293xH37/bef97025c99e5c59cfe79460ddbae605-e8761.png?1733009276 "{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\tau = \frac{T_{1/2}}{ln\ 2}}}} = \frac{5\ 730\ a\tilde{n}os}{ln\ 2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{8\ 267\ a\tilde{n}os}}}"){kind=small}
La constante radiactiva es la inversa de la vida media:
![{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\lambda = \frac{1}{\tau}}}} = \frac{1}{8\ 267\ a\tilde{n}os} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.21\cdot 10^{-4}\ a\tilde{n}os^{-1}}}}](local/cache-vignettes/L330xH37/cc2f3b8ffa5a0928796c571037ba84b9-076b5.png?1733009276 "{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\lambda = \frac{1}{\tau}}}} = \frac{1}{8\ 267\ a\tilde{n}os} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.21\cdot 10^{-4}\ a\tilde{n}os^{-1}}}}"){kind=small}
b) La actividad es el producto de la constante radiactiva por el número de núcleos. Para calcular la actividad inicial:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{A = \lambda\cdot N_0}}](local/cache-vignettes/L85xH16/b576c5f27c2049c96d941222a2b06b8c-99e6f.png?1733009276 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{A = \lambda\cdot N_0}}"){kind=small}
El valor de la constante radiactiva debes expresarlo en unidades SI:
![\lambda = 1.21\cdot 10^{-4}\ \cancel{a\tilde{n}os^{-1}}\cdot \frac{1\ \cancel{a\tilde{n}o}}{(365\cdot 24\cdot 3.6\cdot 10^3)\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.84\cdot 10^{-12}\ s^{-1}}}](local/cache-vignettes/L461xH42/6f23cd36419f3933e9cedc11536eb76c-263f9.png?1733009276 "\lambda = 1.21\cdot 10^{-4}\ \cancel{a\tilde{n}os^{-1}}\cdot \frac{1\ \cancel{a\tilde{n}o}}{(365\cdot 24\cdot 3.6\cdot 10^3)\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.84\cdot 10^{-12}\ s^{-1}}}"){kind=small}
Sustituyes y calculas la actividad inicial:
![A = 3.84\cdot 10^{-12}\ s^{-1}\cdot 5\cdot 10^{20}\ n\acute{u}cleos = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.92\cdot 10^9\ Bq}}}](local/cache-vignettes/L396xH26/4a5ea93d9fd1271241884ddbb7b851e9-efe6d.png?1733009276 "A = 3.84\cdot 10^{-12}\ s^{-1}\cdot 5\cdot 10^{20}\ n\acute{u}cleos = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.92\cdot 10^9\ Bq}}}"){kind=small}
Ahora usas la expresión para el decaimiento radiactivo y despejas el tiempo:
![A = A_0\cdot e^{-t/\tau}\ \to\ ln\ \left(\frac{A}{A_0}\right) = \frac{-t}{\tau}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t = \tau\cdot ln\ \left(\frac{A_0}{A}\right)}}](local/cache-vignettes/L413xH40/24493ea992b42fb4be4851b480ce70dc-5fd71.png?1733009276 "A = A_0\cdot e^{-t/\tau}\ \to\ ln\ \left(\frac{A}{A_0}\right) = \frac{-t}{\tau}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t = \tau\cdot ln\ \left(\frac{A_0}{A}\right)}}"){kind=small}
Como A tiene que ser la décima parte de
, el cociente de la ecuación anterior es igual a 10. Sustituyes y calculas: ![t = 8\ 267\ a\tilde{n}os\cdot ln\ (10) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{19\ 035\ a\tilde{n}os}}}](local/cache-vignettes/L296xH22/e4b4feb249a4c921999a7161ae8b5dcc-1a18c.png?1733009276 "t = 8\ 267\ a\tilde{n}os\cdot ln\ (10) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{19\ 035\ a\tilde{n}os}}}"){kind=small}