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Velocidad y aceleración en un movimiento circular acelerado (7319)
Miércoles 25 de agosto de 2021, por
Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio 40 cm de tal manera que su posición angular viene dado por:
Calcula:
a) La velocidad angular y tangencial para cualquier instante.
b) La aceleración angular y tangencial para cualquier instante.
c) La aceleración normal para t = 2 s.
d) La aceleración total para el instante t = 2 s.
a) La velocidad angular la obtienes si haces la derivada de la posición angular con respecto al tiempo:
![\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d(2t + \frac{t^2}{2})}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\omega = (2 + t)\ \frac{rad}{s}}}}](local/cache-vignettes/L311xH41/68c5d0ccedd03687e19cc3dde35ebbbe-8fb90.png?1733017424 "\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d(2t + \frac{t^2}{2})}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\omega = (2 + t)\ \frac{rad}{s}}}}"){kind=small}
La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio, expresado en metros:
![v = \omega\cdot R = (2 + t)\cdot 0.4\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = (0.8 + 0.4t)\ \frac{m}{s}}}}](local/cache-vignettes/L359xH29/07cbbd3a890e471a8cdd35593929a535-f275b.png?1733017424 "v = \omega\cdot R = (2 + t)\cdot 0.4\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = (0.8 + 0.4t)\ \frac{m}{s}}}}"){kind=small}
b) La aceleración angular la calculas haciendo la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo:
![\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d(2 + t)}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 1\ \frac{rad}{s^2}}}}](local/cache-vignettes/L257xH37/35a5c3d4d8dd1e07bc7f7ca680181935-0ccc1.png?1733017424 "\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d(2 + t)}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 1\ \frac{rad}{s^2}}}}"){kind=small}
La aceleración tangencial, de manera análoga a la velocidad tangencial, es el producto de la aceleración angular y el radio:
![a_t = \alpha\cdot R = 1\cdot 0.4\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_t = 0.4\ \frac{m}{s^2}}}}](local/cache-vignettes/L265xH28/c71d32b826c438db8868fc82f9ef2bec-a3225.png?1733017424 "a_t = \alpha\cdot R = 1\cdot 0.4\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_t = 0.4\ \frac{m}{s^2}}}}"){kind=small}
c) La aceleración normal es:
![a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a_n = \omega^2\cdot R}}](local/cache-vignettes/L258xH41/2a393d564cc7982bc0b4fc7bf552ce98-b8662.png?1733017424 "a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a_n = \omega^2\cdot R}}"){kind=small}
Si sustituyes el tiempo por el valor de 2 s:
![a_n = (2 + 2)^2\ s^{-2}\cdot 0.4\ m\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_n = 6.4\ \frac{m}{s^2}}}}](local/cache-vignettes/L311xH28/611700facd755c0ed3c0e86bd60073ee-1366b.png?1733017424 "a_n = (2 + 2)^2\ s^{-2}\cdot 0.4\ m\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_n = 6.4\ \frac{m}{s^2}}}}"){kind=small}
d) La aceleración total la calculas a partir de las componentes tangencial y normal:
![a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(0.4^2 + 6.4^2)\ \left(\frac{m}{s^2}\right)^2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a = 6.43\ \frac{m}{s^2}}}}](local/cache-vignettes/L412xH40/8156c6ebd4128d7a53a9820c2f5f9416-95f28.png?1733017424 "a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(0.4^2 + 6.4^2)\ \left(\frac{m}{s^2}\right)^2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a = 6.43\ \frac{m}{s^2}}}}"){kind=small}
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