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Velocidad y energía cinética rotacional de un cilindro macizo (4817)
Lunes 29 de octubre de 2018, por
Un cilindro macizo y homogéneo de 6 kg rueda sin rozamiento por un plano inclinado de 
a lo largo de 10 m. Si parte del reposo, halla al final del plano:
a) La velocidad lineal.
b) La energía cinética de rotación.
Para poder calcular la energía cinética de rotación del cilindro debes conocer su momento de inercia. Al tratarse de un cilindro macizo y homogéneo, su momento de inercia es igual a:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = \frac{1}{2}m\cdot R^2}}](local/cache-vignettes/L97xH36/37973f55f126e39777b23e3aa1948879-c6d53.png?1733002277 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = \frac{1}{2}m\cdot R^2}}"){kind=small}
siendo m la masa y R el radio del cilindro.
a) La velocidad lineal del cilindro la puedes determinar a partir de un balance de energía, suponiendo que no hay rozamiento, por lo que se ha de conservar la energía mecánica:
![E_M(i) = E_M(f)\ \to\ E_P(i) = E_C(f)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{mgh = \frac{1}{2}mv_f^2}}](local/cache-vignettes/L401xH36/4f3f5b3562f55d20c097f110c864ea9c-a3bea.png?1733002277 "E_M(i) = E_M(f)\ \to\ E_P(i) = E_C(f)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{mgh = \frac{1}{2}mv_f^2}}"){kind=small}
Tienes en cuenta que la altura de partida del cilindro ha de ser:
![h = 10\ m\ sen\ 30^o = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 5\ m](local/cache-vignettes/L176xH13/a435087ae1d757da98427405e169d610-7278b.png?1733002277 "h = 10\ m\ sen\ 30^o = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 5\ m"){kind=small}
:
Despejas el valor de la velocidad final y sustituyes:
![v_f = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9.8\frac{m}{s^2}\cdot 5\ m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.90\frac{m}{s}}}}](local/cache-vignettes/L297xH40/c7893169c51face02ddc7f358a11cbcd-6bd7e.png?1733002277 "v_f = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9.8\frac{m}{s^2}\cdot 5\ m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.90\frac{m}{s}}}}"){kind=small}
b) La energía cinética de rotación es:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C(rot) = \frac{1}{2}\cdot I\cdot \omega^2}}](local/cache-vignettes/L155xH36/2629d4d4988527778bd9fcd291226572-bff72.png?1733002277 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C(rot) = \frac{1}{2}\cdot I\cdot \omega^2}}"){kind=small}
La velocidad angular se puede escribir en función de la velocidad lineal si consideras el radio del cilindro:
![v = \omega \cdot R\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{v}{R}}}](local/cache-vignettes/L155xH34/d83dd3d8207d624984fd768f5db2ca53-711a5.png?1733002277 "v = \omega \cdot R\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{v}{R}}}"){kind=small}
Ahora reescribes la energía cinética de rotación:
![E_C(rot) = \frac{1}{2}I\cdot \frac{v^2}{R^2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}mR^2\cdot \frac{v^2}{R^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C(rot) = \frac{1}{4}m\cdot v^2}}](local/cache-vignettes/L441xH37/8e8813f8a9739ec6ba4bb44d47a6aad0-9072e.png?1733002277 "E_C(rot) = \frac{1}{2}I\cdot \frac{v^2}{R^2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}mR^2\cdot \frac{v^2}{R^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C(rot) = \frac{1}{4}m\cdot v^2}}"){kind=small}
Solo te queda sustituir por los datos que conoces:
![E_C(rot) = \frac{1}{4}\cdot 6\ kg\cdot 98\frac{m^2}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 147\ J}}](local/cache-vignettes/L261xH37/76020484bf66f5f1df8c46d4d1f17e7c-7c4fd.png?1733002277 "E_C(rot) = \frac{1}{4}\cdot 6\ kg\cdot 98\frac{m^2}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 147\ J}}"){kind=small}