Operaciones con vectores

, por F_y_Q

Para los siguientes vectores: \vec A = (4, -1, -6); \vec B = (5, 7, -2); \vec C = (-8, -5, 2) y \vec D = (9, -4, 0), determina:

a) (\vec A + \vec B) ; (\vec A - \vec B) ; (\vec D + \vec C) ; (\vec A - \vec D).

b) La magnitud de cada vector y los ángulos que forman con los ejes x , y , z.

c) Los productos escalares: \vec A\cdot \vec B ; \vec D\cdot \vec C ; \vec B\cdot \vec C ; \vec B\cdot \vec D.

d) Los productos vectoriales: \vec A\times \vec B ; \vec D\times \vec C ; \vec B\times \vec C ; \vec B\times \vec D


SOLUCIÓN:

a) Para obtener las sumas y diferencias entre vectores tan solo debemos hacer esas sumas o diferencias entre sus componentes:

(\vec A + \vec B)  = [(4 + 5), (-1 + 7), (-6 - 2)] = \bf (9, 6, -8)

(\vec A - \vec B)  = [(4 - 5), (-1 - 7), (-6 + 2)] = \bf (-1, -8, -4)

Operando del mismo modo, las otras dos operaciones resultan:

(\vec D + \vec C)  = \bf (1, -9, 2)

(\vec A - \vec D)  = \bf (-5, 3, -6)


b) Los cosenos directores de los vectores se obtienen al hacer el cociente entre cada una de las componentes del vector y su módulo. Lo hacemos para el vector \vec A y luego ponemos los resultados para el resto de los vectores. En primer lugar calculamos el módulo del vector:
A = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{53}.
Eje X:

cos\ \alpha = \frac{A_x}{A}\ \to\ \alpha = arccos\ \frac{4}{\sqrt{53}} = \bf 56,7^o

Eje Y:

cos\ \beta = \frac{A_y}{A}\ \to\ \beta = arccos\ \frac{-1}{\sqrt{53}} = \bf 97,9^o

Eje Z:

cos\ \gamma = \frac{A_y}{A}\ \to\ \gamma = arccos\ \frac{-6}{\sqrt{53}} = \bf 145,5^o


Para el vector \vec B, su módulo es B = \sqrt{78}:

\bf \alpha = 55,5^o\ ;\ \beta = 37,6^o\ ;\ \gamma = 103,1^o



Para el vector \vec C, su módulo es C = \sqrt{93}:

\bf \alpha = 146^o\ ;\ \beta = 121,2^o\ ;\ \gamma = 78^o


Para el vector \vec D, su módulo es D = \sqrt{117}:

\bf \alpha = 33,7^o\ ;\ \beta = 111,7^o\ ;\ \gamma = 90^o


c) El producto escalar de dos vectores es un número y se obtiene multiplicando las componentes entre sí. Lo hacemos para el primer caso y luego ponemos el resultado para el resto de operaciones:
\vec A\cdot \vec B = (A_x\cdot B_x) + (A_y\cdot B_y) + (A_z\cdot B_z)

\vec A\cdot \vec B = (4\cdot 5) + (-1\cdot 7) + [-6\cdot (-2)] = \bf 25

\vec D\cdot \vec C = [9\cdot (-8)] + [(-4)\cdot (-5)] + (0\cdot 2) = \bf -52

\vec B\cdot \vec C = [5\cdot (-8)] + [7\cdot (-5)] + (-2\cdot 2) = \bf -79

\vec B\cdot \vec D = (5\cdot 9) + [7\cdot (-4)] + (-2\cdot 0) = \bf 17


d) El resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector que es perpendicular al plano que foman los vectores multiplicados. Se obtienen las componentes de este vector a partir de la resolución de un determinante. Los hacemos para el primer caso y escribimos las soluciones del resto:

\vec A\times \vec B = \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & -1 & -6\\ 5 & 7 & -2 \end{array} \right| = \bf 44\vec i - 22\vec j + 33\vec k

\vec D\times \vec C = \bf -8\vec i - 18\vec j - 77\vec k

\vec B\times \vec C = \bf 4\vec i + 6\vec j + 31\vec k

\vec B\times \vec D = \bf -8\vec i - 18\vec j - 83\vec k