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Aceleración de un protón que se mueve en un campo magnético (8376)

Domingo 19 de enero de 2025, por F_y_Q

Un protón se mueve a través de un campo eléctrico dado por $\vec{E} = 50\ \vec{j}\ V\cdot m^{-1}$ y un campo magnético $\vec{B} = 0.2\vec{i} + 0.3\vec{j} + 0.4\vec{k}\ T$ . Determina la aceleración del protón cuando tiene una velocidad de 200m/s en la dirección del eje X.

Sobre el protón actúan dos fuerzas debidas al campo eléctrico y al campo magnético. La suma de ambas fuerzas ha de ser igual al producto de la masa del protón por su aceleración:

$\vec{F}_T = \vec{F}_E + \vec{F}_M = m_p\cdot \vec{a}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{F}_T = q_p\cdot \vec{E} + q_p\left(\vec{v}\times \vec{B}\right) = m_p\cdot \vec{a}}}$

Si despejas el valor de la aceleración:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{a} = \frac{q_p}{m_p}\left[\vec{E} + \left(\vec{v}\times \vec{B}\right)\right]}}$

Primero realizas el producto vectorial:

$\vec{v}\times \vec{B} = \left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 200 & 0 & 0\\ 0.2 & 0.3 & 0.4\end{array} \right| = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-30\ \vec{j} + 60\ \vec{k}}}$

Ahora sumas el vector del campo eléctrico y queda:

$50\ \vec{j} -80\ \vec{j} + 60\ \vec{k} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-30\ \vec{j} + 60\ \vec{k}\ (V\cdot m^{-1})}}$

La aceleración la obtienes al hacer el producto del vector resultante por el cociente entre la carga y la masa del protón:

$\vec{a} = \frac{1.6\cdot 10^{-19}\ C}{1.67\cdot 10^{-27}\ kg}\cdot (-30\ \vec{j} + 60\ \vec{k})\ \frac{V}{m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{(-2.87\ \vec{j} + 5.75\ \vec{k})\cdot 10^9\ m\cdot s^{-2}}}}$

Aceleración de un protón que se mueve en un campo magnético (8376)

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