Algebra de vectores referido a sus módulos (7856)

, por F_y_Q

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Demuestra que la desigualdad |\vec{a} + \vec{b}| \leqslant |\vec{a}| + |\vec{b}| , se cumple para los vectores \vec{a} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} y \vec{b} = -2\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} . ¿Qué tienen que cumplir dos vectores \vec{a} y \vec{b} para que se verifique la igualdad |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| ?

P.-S.

Lo primero que debes hacer el calcular los módulos que tienes que relacionar:

\left |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sqrt{3}}}
|\vec{b} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sqrt{38}}}

Para hacer el vector de la suma primero debes sumar los vectores:

\vec{a} + \vec{b} = (1 - 2)\ \vec{i} + (-1 + 5)\ \vec{j} + (1 - 3)\ \vec{k} = -\vec{i} + 4\ \vec{j} - 2\ \vec{k}

Ahora haces el módulo del vector que has obtenido:

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sqrt{21}}}

Como puedes ver, se cumple al desigualdad:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\sqrt{21} < \sqrt{3} + \sqrt{38}}}}


El módulo de la suma de vectores lo puedes expresar también como:

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cdot cos\ \alpha}

Para saber cuando se verifica la igualdad en la ecuación de partida solo tienes que hacer el cuadrado en ambos miembros e igualar:

|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a^2 + b^2 + 2ab\cdot cos\ \alpha = a^2 + b^2 + 2ab}}

Esta igualdad se verifica cuando cos\ \alpha = 1, es decir, si \color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 0}}. Para que se cumpla la igualdad, los vectores tienen que ser paralelos.