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Suma de vectores en coordenadas polares (7840)
Martes 24 de enero de 2023, por
Calcula el desplazamiento resultante de la suma de los vectores 
y 
y exprésala en coordenadas polares.
El planteamiento que voy a desarrollar para resolver el ejercicio es hacer la suma en coordenadas cartesianas y la conversión a coordenadas polares.
Lo primero que debes hacer es expresar los vectores en coordenadas cartesianas. Para ello aplicas las fórmulas:
Sustituyes los datos de cada vector, pero teniendo cuidado con el modo de la calculadora:
![\left \vec{A} = 5\cdot cos\ 30\ \vec{i} + 5\cdot sen\ 30\ \vec{j}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{A} = 4.33\ \vec{i} + 2.5\ \vec{j}}}} \atop \vec{B} = 3\cdot cos\ 220\ \vec{i} + 3\cdot sen\ 220\ \vec{j}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{B} = -2.3\ \vec{i} - 1.93\ \vec{j}}}} \right \}](local/cache-vignettes/L435xH50/402be173a2babf4490cb35f8b60cfcd5-40b91.png?1732989496 "\left \vec{A} = 5\cdot cos\ 30\ \vec{i} + 5\cdot sen\ 30\ \vec{j}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{A} = 4.33\ \vec{i} + 2.5\ \vec{j}}}} \atop \vec{B} = 3\cdot cos\ 220\ \vec{i} + 3\cdot sen\ 220\ \vec{j}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{B} = -2.3\ \vec{i} - 1.93\ \vec{j}}}} \right \}")
El desplazamiento es:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta \vec{r} = \vec{B} - \vec{A}}}](local/cache-vignettes/L101xH16/8ce6bc012cfa377bad345528d3e64e6d-e1bab.png?1732989496 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta \vec{r} = \vec{B} - \vec{A}}}"){kind=small}
Sustituyes y haces la operación:
![\Delta \vec{r} = (-2.3 - 4.33)\ \vec{i} + (-1.93 - 2.5)\ \vec{j}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\Delta \vec{r} = -6.63\ \vec{i} - 4.43\ \vec{j}}}](local/cache-vignettes/L495xH21/afc2b9c0d315f6372fd699bc61e56e11-b7df5.png?1732989496 "\Delta \vec{r} = (-2.3 - 4.33)\ \vec{i} + (-1.93 - 2.5)\ \vec{j}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\Delta \vec{r} = -6.63\ \vec{i} - 4.43\ \vec{j}}}"){kind=small}
Ambas coordenadas son negativas, por lo que el desplazamiento está en el tercer cuadrante. La conversión la haces a partir de las coordenadas. Puedes despejar el valor de r de la coordenada x:
![x = r\cdot cos\ \alpha\ \to\ r = \frac{x}{cos\ \alpha}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{r = \frac{-6.63}{cos\ \alpha}}}](local/cache-vignettes/L317xH36/d7d1a7b7fd45b1bf2cf0c5305184ce2f-c2ac0.png?1732989496 "x = r\cdot cos\ \alpha\ \to\ r = \frac{x}{cos\ \alpha}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{r = \frac{-6.63}{cos\ \alpha}}}"){kind=small}
Sustituyes en la coordenada y:
![-4.43 = \frac{-6.63}{cos\ \alpha}\cdot sen\ \alpha\ \to\ tg\ \alpha = \frac{4.43}{6.63}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\alpha = 33.7^o}}](local/cache-vignettes/L395xH36/bf1de01bd61b615a628e8cb316250c6c-7c489.png?1732989496 "-4.43 = \frac{-6.63}{cos\ \alpha}\cdot sen\ \alpha\ \to\ tg\ \alpha = \frac{4.43}{6.63}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\alpha = 33.7^o}}"){kind=small}
Debes sumar 180 al ángulo obtenido porque el desplazamiento está en el tercer cuadrante. Ahora solo te queda calcular el módulo, r, y lo haces con la primera ecuación:
![r = \frac{-6.63}{cos\ 213.7^o}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf r = 7.97\ m}](local/cache-vignettes/L223xH35/405d989515bed00566cea28dad1cbffc-aec08.png?1732989496 "r = \frac{-6.63}{cos\ 213.7^o}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf r = 7.97\ m}"){kind=small}
El desplazamiento, en coordenadas polares, es:
![\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta \vec{r}= (7.97\ m, 213.7^o)}}}](local/cache-vignettes/L187xH26/83290176a8d077c3356b18ab19e2f8c4-b6df1.png?1732989496 "\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta \vec{r}= (7.97\ m, 213.7^o)}}}"){kind=small}