Suma de vectores en coordenadas polares (7840)

, por F_y_Q

|

Calcula el desplazamiento resultante de la suma de los vectores A = (5\ m, 30^o) y B = (3\ m, 220^o) y exprésala en coordenadas polares.

P.-S.

El planteamiento que voy a desarrollar para resolver el ejercicio es hacer la suma en coordenadas cartesianas y la conversión a coordenadas polares.

Lo primero que debes hacer es expresar los vectores en coordenadas cartesianas. Para ello aplicas las fórmulas:

\left x = r\cdot cos\ \alpha \atop y = r\cdot sen\ \alpha \right \}

Sustituyes los datos de cada vector, pero teniendo cuidado con el modo de la calculadora:

\left \vec{A} = 5\cdot cos\ 30\ \vec{i} + 5\cdot sen\ 30\ \vec{j}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{A} = 4.33\ \vec{i} + 2.5\ \vec{j}}}} \atop \vec{B} = 3\cdot cos\ 220\ \vec{i} + 3\cdot sen\ 220\ \vec{j}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{B} = -2.3\ \vec{i} - 1.93\ \vec{j}}}} \right \}

El desplazamiento es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta \vec{r} = \vec{B} - \vec{A}}}

Sustituyes y haces la operación:

\Delta \vec{r} = (-2.3 - 4.33)\ \vec{i} + (-1.93 - 2.5)\ \vec{j}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\Delta \vec{r} = -6.63\ \vec{i} - 4.43\ \vec{j}}}

Ambas coordenadas son negativas, por lo que el desplazamiento está en el tercer cuadrante. La conversión la haces a partir de las coordenadas. Puedes despejar el valor de r de la coordenada x:

x = r\cdot cos\ \alpha\ \to\ r = \frac{x}{cos\ \alpha}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{r = \frac{-6.63}{cos\ \alpha}}}

Sustituyes en la coordenada y:

-4.43 = \frac{-6.63}{cos\ \alpha}\cdot sen\ \alpha\ \to\ tg\ \alpha = \frac{4.43}{6.63}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\alpha = 33.7^o}}

Debes sumar 180 al ángulo obtenido porque el desplazamiento está en el tercer cuadrante. Ahora solo te queda calcular el módulo, r, y lo haces con la primera ecuación:

r = \frac{-6.63}{cos\ 213.7^o}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf r = 7.97\ m}

El desplazamiento, en coordenadas polares, es:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta \vec{r}= (7.97\ m, 213.7^o)}}}