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Ángulo de lanzamiento para una pelota de beisbol sea bateada a 0.7 m de altura (7870)

Miércoles 1ro de marzo de 2023, por F_y_Q

La distancia del puesto del lanzador de beisbol a la base es de 18.4 m. El terraplén donde se sitúa el lanzador está 0.2 m sobre el nivel del campo. Al lanzar una pelota con una velocidad inicial de 37.5 m/s, la mano del lanzador está a una altura de 2.3 m sobre el terraplén.

a) ¿Qué ángulo debe formar la velocidad inicial y la horizontal para que la pelota cruce la base a una altura de 0.7 m por encima del suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega la pelota a la base?

Para hacer es problema es buena idea hacer un esquema que te permita entender cómo has de tomar la referencia y el criterio de signos. Si tomas la referencia en el punto de lanzamiento y como positivos los sentidos hacia la derecha y hacia abajo, las ecuaciones de la velocidad y la posición de la bola son:

$\left v_x = v_0\cdot cos\ \alpha \atop v_y = v_0\cdot sen\ \alpha + g\cdot t \right \}\ \to\ \left x = v_0\cdot t\cdot cos\ \alpha \atop y = y_0 + v_0\cdot t\cdot sen\ \alpha + \frac{g}{2}\cdot t^2\ \right \}$

Despejas el tiempo de la ecuación de la posición en la dirección horizontal y sustituyes los valores conocidos:

$t = \frac{x}{v_0\cdot cos\ \alpha} = \frac{18.4}{37.5\cdot cos\ \alpha}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t = \frac{0.49}{cos\ \alpha}}}$

Usas el valor del tiempo en la ecuación de la posición en la dirección vertical y sustituyes:

$-2.5 = -0.7 + 37.5\cdot \frac{0.49}{cos\ \alpha} + 4.9\cdot \left(\frac{0.49^2}{cos^2\ \alpha}\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{-1.8 = 18.4\cdot tg\ \alpha + 1.18\cdot \frac{1}{cos^2\ \alpha}}}$

Es necesario que tengas en cuenta la equivalencia siguiente:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{1}{cos^2\ \alpha} = 1 + tg\ \alpha}}$

Al sustituir te queda una ecuación de segundo grado en función de la tangente del ángulo:

$\color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.18tg^2\ \alpha + 18.4tg\ \alpha + 2.98 = 0}}$

Si resuelves la ecuación tienes dos valores posibles para la tangente del ángulo, que puedes transformar en ángulos si haces la inversa de la tangente:

$\left\ (tg\ \alpha)_1 = -15.4 \atop (tg\ \alpha)_2 = -0.16 \right \}\ \to\ \left {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\alpha_1 = -86.3^o \atop \alpha_2 = -9.1^o \right \}}}}$

De los dos valores obtenidos, el que tiene sentido físico es el segundo, por lo tanto, el ángulo con el que tiene que lanzar es $\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-9.1^o}}}$

Ángulo de lanzamiento para una pelota de beisbol sea bateada a 0.7 m de altura (7870)

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