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Análisis de un objeto que se lanza con un ángulo y velocidad inicial (5158)
Miércoles 15 de mayo de 2019, por
Se lanza un proyectil formando cierto ángulo 
con la horizontal, con una velocidad inicial de 60 m/s. Si la magnitud de la componente vertical de la velocidad inicial es 40 m/s, calcula:
a) El valor del ángulo .
b) La velocidad del proyectil en función del tiempo.
c) La altura máxima alcanzada.
d) El alcance horizontal.
a) El ángulo de lanzamiento se puede obtener a partir de los valores de velocidad inicial y velocidad inicial en el eje y:
![v_{oy} = v_0\sen \alpha\ \to\ sen\ \alpha = \frac{v_{oy}}{v_0} = \frac{40}{60}\ \to\ \alpha = arcsen\ \frac{2}{3} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 41.8^o}}](local/cache-vignettes/L605xH48/6e5c13095a1b8ceb89f53b2635c42cde-af2bc.png?1742234993 "v_{oy} = v_0\sen \alpha\ \to\ sen\ \alpha = \frac{v_{oy}}{v_0} = \frac{40}{60}\ \to\ \alpha = arcsen\ \frac{2}{3} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 41.8^o}}"){kind=small}
b) La ecuación de la velocidad con respecto al tiempo es:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec v (t) = \vec v_{0x}\vec i + (v_{0y} - gt)\vec j}}](local/cache-vignettes/L255xH28/4661ea81c9896059cc90e827785d28f7-5b4e1.png?1742234993 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec v (t) = \vec v_{0x}\vec i + (v_{0y} - gt)\vec j}}"){kind=small}
Sustituyes los datos y calculas:
![\vec{v} (t) = (60\cdot cos\ 41.8)\vec i + (60\cdot sen\ 41.8 - 9.8t)\vec j = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{44.73\vec i + (40 - 9.8t)\vec j\ (m\cdot s^{-1})}}}](local/cache-vignettes/L672xH33/3973de9edfd99a457212927ceeb4c322-92c18.png?1758383476 "\vec{v} (t) = (60\cdot cos\ 41.8)\vec i + (60\cdot sen\ 41.8 - 9.8t)\vec j = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{44.73\vec i + (40 - 9.8t)\vec j\ (m\cdot s^{-1})}}}"){kind=small}
c) La altura máxima se obtiene a partir del tiempo de subida el proyectil:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_y = v_{0y} - g\cdot t_s}}](local/cache-vignettes/L161xH21/707244a76c1d725b8a0c668aa71d35b6-5a086.png?1742234993 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_y = v_{0y} - g\cdot t_s}}"){kind=small}
Cuando el proyectil esté en su punto más alto la componente vertical de la velocidad será nula:
![t_s = \frac{v_{0y} - v_0}{g} = \frac{40\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 4.08\ s}](local/cache-vignettes/L293xH70/39dd12ed0f23edff9682dde19baa1dbe-2b094.png?1742234993 "t_s = \frac{v_{0y} - v_0}{g} = \frac{40\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 4.08\ s}")
Sustituyes el tiempo calculado en la ecuación de la posicion:
![y_{max} = v_{0y}\cdot t_s - \frac{g}{2}\cdot t_s^2 = 40\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 4.08\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 4.08^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 81.6\ m}}](local/cache-vignettes/L634xH45/760453aceb58cc0966ecf38cc6207b30-bd042.png?1742234993 "y_{max} = v_{0y}\cdot t_s - \frac{g}{2}\cdot t_s^2 = 40\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 4.08\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 4.08^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 81.6\ m}}"){kind=small}
d) El alcance, en función del ángulo de lanzamiento, es:
![x_{max} = \frac{v_0^2}{g}\cdot sen\ 2\alpha = \frac{60^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}}\sen\ (2\cdot 41.8)^o = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 365.1\ m}}](local/cache-vignettes/L522xH75/418ff0da8886e8b6fd7d6928c8b5d2df-2092e.png?1742234993 "x_{max} = \frac{v_0^2}{g}\cdot sen\ 2\alpha = \frac{60^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}}\sen\ (2\cdot 41.8)^o = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 365.1\ m}}")