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Representación y cálculo de vectores de desplazamiento (8323)

Jueves 3 de octubre de 2024, por F_y_Q

a) Representa gráficamente los puntos A(0,4), B(-2,0) y C(5,3) y dibuja los vectores posición, con respecto al origen, $\vec{r}_A$ , $\vec{r}_B$ y $\vec{r}_C$ .

b) Escribe analíticamente los vectores representados en el apartado anterior.

c) Calcula los vectores que describen el desplazamiento de A a B ( $\Delta \vec{r}_{AB}$ ) y de A a C ( $\Delta \vec{r}_{AC}$ ), y represéntalos gráficamente.

d) Calcula el módulo de ambos desplazamientos e interpreta el resultado obtenido.

El ejercicio es una aplicación de cómo representar magnitudes vectoriales y cómo trabajar con los vectores analíticamente. Si clicas sobre las imágenes podrás verlas con mayor tamaño y definición.

a) Los puntos que debes representar son:

Para representar el vector posición de cada punto, con respecto al origen, solo tienes que usar vectores que unan el punto O con los puntos A, B y C:

b) Para obtener las componentes de los vectores debes hacer la diferencia de las coordenadas del punto final y el punto inicial:

$\vec{r}_A = (0 - 0)\ \vec{i} + (4 - 0)\ \vec{j}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{r}_A = 4\ \vec{j}}}}$

Tienes que hacer lo mismo con los otros dos vectores:

$\left \vec{r}_B = (-2 - 0)\ \vec{i} + (0 - 0)\ \vec{j}\ \to\ {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{r}_B = -2\ \vec{i}}}}} \atop \vec{r}_C = (5 - 0)\ \vec{i} + (3 - 0)\ \vec{j}\ \to\ {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{r}_C = 5\ \vec{i} + 3\ \vec{j}}}}} \right$

c) El desplazamiento es la diferencia entre las posiciones que tomas como referencia. Esto quiere decir que puedes describir el vector desplazamiento como:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta \vec{r} = \vec{r}_f + \vec{r}_i}}$

Si aplicas esta definición a los casos del enunciado, obtienes:

$\left \Delta \vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (-2 - 0)\ \vec{i} + (0 - 4)\ \vec{j}\ \to\ {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta \vec{r}_{AB} = -2\ \vec{i} - 4\ \vec{j}}}}} \atop \Delta \vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A = (5 - 0)\ \vec{i} + (3 - 4)\ \vec{j}\ \to\ {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta \vec{r}_{AC} = 5\ \vec{i} - \vec{j}}}}} \right$

La representación gráfica de los vectores desplazamiento es:

d) El módulo de un vector se calcula con la fórmula:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2}}}$

Si la aplicas para los vectores obtenidos:

$\left \Delta r_{AB} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 4.5\ m}}}\ \atop \Delta r_{AC} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 5.1\ m}}} \right$

Representación y cálculo de vectores de desplazamiento (8323)

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