Aplicación del principio de homogeneidad dimensional (3422)

, por F_y_Q

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Determina las dimensiones de «x» si esta ecuación es dimensionalmente correcta:

$$$ \text{x}\cdot \text{v}^2 = \text{W}\cdot \text{m}\cdot \text{a}+ \text{b}\cdot \text{t}$$$

sabiendo que «v» es la velocidad, «a» es la aceleración, «m» es la masa y «W» es el trabajo.

P.-S.

Si centras la atención en el segundo miembro de la ecuación, puedes ver que hay dos sumandos. Como ambos sumandos han de tener las mismas dimensiones, basta con deducir las dimensiones del primer sumando para poder hacer el ejercicio. Las dimensiones serían:

$$$ \text{W}\cdot \text{m}\cdot \text{a} = \dfrac{[\text{L}]^2\cdot [\text{M}]}{[\text{T}]^2}\cdot [\text{M}]\cdot \dfrac{[\text{L}]}{[\text{T}]^2} = \color{forestgreen}{\bf \dfrac{[L]^3\cdot [M]^2}{[T]^4}}$$$

Para que se puedan sumar los dos factores del segundo miembro es necesario que «b» tenga como dimensiones:

$$$ \color{royalblue}{\bf [b] = \dfrac{[L]^3\cdot [M]^2}{[T]^5}}$$$

Las dimensiones de «x» deben ser:

$$$ [\text{x}]\cdot \dfrac{[\text{L}]^2}{[\text{T}]^2} = \dfrac{[\text{L}]^3\cdot [\text{M}]^2}{[\text{T}]^4}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf [x] =\bf \dfrac{[L]\cdot [M]^2}{[T]^2}}}$$$