Análisis dimensional para obtener una ecuación de la velocidad de las olas superficiales (6825)

, por F_y_Q

Las olas en la superficie del océano no dependen significativamente de propiedades del agua como la densidad o la tensión superficial. La principal fuerza (fuerza de retorno) para el agua apilada en las crestas de las olas se debe a la atracción gravitacional de la Tierra. Por lo tanto, la rapidez v, expresada en m/s, de las olas oceánicas depende de la aceleración de la gravedad g. Es razonable esperar que v también dependa de la profundidad del agua, h, y de la longitud de onda de la ola (\lambda). Supón que la rapidez de la ola está dada por la fórmula funcional:

v = C\cdot g^{\alpha}\cdot h^{\beta}\cdot \lambda^{\gamma}

donde \alpha , \beta , \gamma y C son adimensionales. En aguas profundas, el agua por debajo no afecta al movimiento de las olas en superficie, por lo que v debe ser independiente de la profundidad (\beta = 0). Utilizando solo análisis dimensional determina una expresión para la rapidez de las olas superficiales en aguas profundas.


SOLUCIÓN:

Si escribes cada una de las variables de la ecuación en función de sus magnitudes fundamentales, teniendo en cuenta que el término de la profundidad se hace la unidad porque \beta = 0:

\frac{[L]}{[T]} = C\cdot \Big(\frac{[L]}{[T]^2}\Big)^{\alpha}\cdot [L]^{\gamma} = \frac{[L]^{\alpha + \gamma}}{[T]^{2\alpha}}

Parece claro que se tiene que cumplir que:

\left \alpha + \gamma = 1 \atop \color[RGB]{2,112,20}{\bf \alpha = \frac{1}{2}} \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf \gamma = \frac{1}{2}}

La expresión que buscas tendrá la forma:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = C\cdot \sqrt{g\cdot \lambda}}}}