Flujo magnético, fuerza electromotriz y corriente inducida en un generador (8572)

, por F_y_Q

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Un generador simple consiste en una bobina rectangular de «N» espiras, con lados «a» y «b», que gira con velocidad angular constante «$$$ \omega$$$» en un campo magnético uniforme «$$$ \text{B} = \text{B}_0\cdot \vec{\text{z}}$$$». La bobina tiene una resistencia total «R». En el instante inicial «t = 0», el vector normal a la superficie de la bobina es paralelo al campo magnético. Calcula:

a) El flujo magnético a través de la bobina en función del tiempo.

b) La fuerza electromotriz inducida.

c) La corriente inducida y potencia disipada en la bobina.

d) El par mecánico necesario para mantener el movimiento.

e) ¿Se conserva la energía en el sistema?

P.-S.

a) El flujo a través de una espira es:

$$$ \Phi_1 = \vec{\text{B}} \cdot \vec{\text{S}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \Phi_1 = B_0\cdot S\cdot \cos(\theta)}$$$

donde «$$$ \theta$$$» es el ángulo entre «$$$ \vec{\text{B}}$$$» y el vector normal a la superficie «$$$ \vec{\text{S}}$$$».

Dado que la bobina gira con velocidad angular constante «$$$ \omega$$$», y en «t = 0» el flujo es máximo, es decir, $$$ \theta(t) = \omega\cdot \text{t}$$$ y la superficie de la espira es «$$$ \text{S} = \text{a}\cdot \text{b}$$$». Para «N» espiras:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = N\cdot B_0\cdot S\cdot cos(\omega t)}}$$$


b) La fuerza electromotriz inducida la puedes obtener a partir de la ley de Faraday:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(\text{t}) = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}}}\ \to\ \varepsilon(\text{t}) = -\text{N}\cdot \text{B}_0\cdot S\, \dfrac{\text{d}}{\text{dt}}[\text{cos}(\omega \text{t})]\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(\text{t}) = N\cdot B_0\cdot S\cdot \omega\cdot sen(\omega t)}}$$$

Puedes definir un valor de «fem» máximo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon_0 = N\cdot B_0\cdot S\cdot \omega}$$$

La «fem» en función del tiempo quedaría escrita como:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = \varepsilon_0\cdot sen(\omega t)}}$$$


c) A partir de la ley de Ohm puedes aprender la corriente inducida:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{I(t)} = \dfrac{\varepsilon(\text{t})}{\text{R}}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf I(t) = \dfrac{\varepsilon_0}{R}\cdot sen(\omega t)}}$$$


La potencia instantánea disipada en la bobina por el efecto Joule es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{P(t)} = \text{I}^2\cdot \text{R}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf P(t) = \dfrac{\varepsilon_0^2}{R}\cdot sen^2(\omega t)}}$$$


Si refieres la potencia a un periodo ($$$ T = 2\pi\cdot \omega^{-1}$$$), la potencia media es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\bar{\text{P}} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{\text{R}}\cdot \text{sen}^2(\omega\text{t})}}\ \to\ \bar{\text{P}} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{\text{R}}\cdot \dfrac{1}{2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{P} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{2R}}}$$$


d) La bobina, al circular corriente, experimenta un par magnético:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{\tau} = \vec{\text{m}}\times \vec{\text{B}}}$$$

El momento dipolar de la bobina es: $$$ \text{m} = \text{N}\cdot \text{I}\cdot \text{S}$$$. Si lo expresas en función del tiempo:

$$$ \text{m(t)} = \text{N}\cdot \text{I(t)}\cdot \text{S}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{m(t) = N \left[\dfrac{\varepsilon_0}{R}\cdot sen(\omega t) \right]\cdot S}}$$$

Si sustituyes $$$ \varepsilon_0 = \text{N}\cdot \text{B}_0\cdot S\cdot \omega$$$:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{m(t) = \dfrac{N^2\cdot B_0\cdot S^2\cdot \omega}{R}\cdot sen(\omega t)}}$$$

El módulo del par magnético es:

$$$ \tau_m(t) = m(t) B_0 \sin(\omega t)$$$

Dado que el ángulo entre $$$ \vec{\text{m}}$$$ y $$$ \vec{\text{B}}$$$ es $$$ \omega\text{t}$$$:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\tau_m(t) = \dfrac{N^2\cdot B_0^2\cdot S^2\cdot \omega}{R}\cdot sen^2(\omega t)}}$$$

Para mantener la velocidad angular constante, hay que aplicar un par externo que sea igual y opuesto al par magnético medio de resistencia:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{\tau} = \dfrac{N^2\cdot B_0^2\cdot S^2\cdot \omega}{2R}}}$$$


e) La potencia mecánica suministrada es:

$$$ \bar{\text{P}} = \bar{\tau}\cdot \omega = \dfrac{\text{N}^2\cdot \text{B}_0^2\cdot \text{S}^2\cdot \omega^2}{2\text{R}}$$$

Esta potencia suministrada coincide con la potencia disipada en la resistencia. Si lo escribes en función de la «fem» máxima:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{P} = \frac{\varepsilon_0^2}{2R}}}$$$


La conclusión es que se cumple el principio de conservación de la energía porque la potencia mecánica entregada para girar la bobina se transforma íntegramente en potencia eléctrica disipada en la resistencia.