Velocidad de una partícula en el seno de un campo magnético (7153)

, por F_y_Q

Una partícula con carga de -5.60 nC se mueve en un campo magnético uniforme B = -1.25\ \vec k\ (T). La medición de la fuerza magnética sobre la partícula resulta ser \vec F = -3.40\cdot 10^{-7}\ \vec i + 7.40\cdot 10^{-7}\ \vec j\ (N):

a) Calcula todas las componentes que puedas de la velocidad de la partícula con base en esta información.

b) ¿Hay componentes de la velocidad que no estén determinadas por la medición de la fuerza? Explica tu respuesta.

c) Calcula el producto escalar \vec v\cdot \vec F y di cuál es el ángulo entre \vec v y \vec  F.


SOLUCIÓN:

a) A partir de la ley de Lorentz puedes ver la relación que guardan la fuerza magnética, la velocidad de la carga y la intensidad del campo magnético. El módulo de la fuerza, si haces producto vectorial, es:

\vec F = q\cdot \vec v\times \vec B\ \to\ F = q\cdot v\cdot B\cdot \cancelto{1}{sen\ \alpha}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf F = q\cdot v\cdot B}

Haciendo el cociente entre la fuerza y la carga puedes saber las componentes del vector velocidad al hacer el producto vectorial:

\frac{\vec F}{q} = \frac{-3.4\cdot 10^{-7}}{-5.6\cdot 10^{-9}}\ \vec i + \frac{7.4\cdot 10^{-7}}{-5.6\cdot 10^{-9}}\ \vec j = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{60.7\ \vec i - 132.1\ \vec j}}

El producto vectorial es:

\vec v \times \vec B = \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ a & b & c\\ 0 & 0 & -1.25 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} b & c\\ 0 & -1.25 \end{array} \right| \vec i - \left| \begin{array}{cc} a & c\\ 0 & -1.25 \end{array} \right| \vec j = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{-12.5b\ \vec i + 1.25a\ \vec j}}
Si comparas ambos resultados puedes obtener los valores de a y b:

\left -12.5b = 60.7\ \to\ b = -48.6 \atop 1.25a = -132.1\ \to\ a = -105.7 \right \}

Ya puedes escribir la velocidad de la partícula:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{v} = -105.7\ \vec i - 48.6\ \vec j}}}


b) No. Sabiendo las componentes de la fuerza y del campo eléctrico, y aplicando la regla de la mano derecha, se pueden conocer las componentes de la velocidad, tal y como has hecho en el apartado anterior.

c) El producto escalar es cero porque los vectores fuerza, velocidad y campo magnético son perpendiculares entre sí, por lo que el ángulo que forman es \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{90^oC}}}