Velocidad máxima de un oscilador armónico simple (1528)

, por F_y_Q

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¿Cuál es la velocidad máxima de un oscilador armónico formado por un resorte de constante recuperadora de 150 N/m y unido a una masa de 750 g, cuya amplitud es 6 cm? ¿En qué instante alcanzará la velocidad máxima por primera vez?

P.-S.

Lo primero que debes hacer es extraer los datos y expresarlos en unidades SI para que sea homogéneo:

- Constante elástica: $$$ \text{k} = 1.5 \cdot 10^{2}\ \text{N}\cdot \text{m}^{-1}$$$
- Masa: $$$ \text{m} = 0.75\ \text{ kg}$$$
- Amplitud: $$$ \text{A} = 6\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$$

Como conoces la constante recuperadora y la masa del oscilador, puedes calcular la frecuencia angular:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}}} = \sqrt{\dfrac{150\ \text{N}\cdot \text{m}^{-1}}{0.75\ \text{kg}}} = \color{royalblue}{\bf 14.1\ rad\cdot s^{-1}}$$$

La velocidad máxima en un MAS se alcanza cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio (x = 0). La ecuación de la velocidad es:

$$$ \text{v}= \text{A}\cdot \omega\cdot \text{cos}\ (\omega\cdot \text{t})\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_{\text{máx}} = A\cdot \omega}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \text{v}_{\text{máx}} = 6\cdot 10^{-2}\ \text{m}\cdot 14.1\ \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.85\ m\cdot s^{-1}}}$$$



Si supones que el movimiento comienza en el extremo de máxima amplitud, la ecuación de la posición es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf x(t) = A\cdot sen(\omega\cdot t)}$$$

La velocidad máxima se alcanza por primera vez cuando el objeto llega al punto de equilibrio (x = 0), por lo que puedes igualar la ecuación anterior a cero, cumpliéndose la ecuación cuando el seno sea cero:

$$$ \text{sen}(\omega\cdot \text{t}) = \pi\ \to\ \color{forestgreen}{\bf t = \dfrac{\pi}{\omega}}$$$

Sustituyes el valor de «$$$ \omega$$$» y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{t} = \dfrac{3.14\ \cancel{\text{rad}}}{14.1\ \cancel{\text{rad}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.22\ s}}$$$